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1、,应用数学基础 课件序言,应用数学基础是普通高等教育“十一五“国家级规划教材。 应用数学基础是普通高等职业教育工科类和经济类等学科的数学基础课。我们编写该教材的出发点是好教易学，能适应高职学生的学习基础状况，真正能够使学生学得懂，弄的明白.这也是编写此教材的目的.从课堂教学过程来看，教师授课的水平如何，是否受学生的欢迎？则是提高课堂教学质量的关键。,为此，我们编写和制作此课件就在于明确教学过程的教学目的和要求，教学重点和难点，充分发挥授课教师的作用，指导教师讲授教材，进一步提高教师的教学水平。从而在提高普通高职教育的最重要环节课堂教学上，提高教学质量。 目前各普通高等职业院校的数学课程，内容较
2、多又较难，教师一方面要完成教学计划和教学要求，使学生学好所教授的学习内容；,另一方面由于在授课时数比过去减少的情况下，要想在课堂内详细讲授教材内容及评讲作业难度也很大。为了解决一些这方面的实际问题，我们在本课件针对每章内容写出了教学目的和要求，教学重点和难点，教学内容的提示，参考教案，基本题型选解及分析。并且尽可能的概括每章或每节的基本内容，尽可能的体现开发学生智力和培养学生分析问题和解决问题的能力，尽可能地体现高职教育在教学上的特点。,每一章给出一个例题或一个解题说明，对一些基本题型进行分析和解答，努力做到言简意明，供教师参考。,第一章 极限与连续,一. 教学目的和要求,1.理解数列极限和函
3、数极限的概念，掌握极限的四则运算法则；理解无穷小与无穷大的概念，了解无穷小的性质，理解函数极限与无穷小的关系，知道两个无穷小比较的意义；会用两个重要极限求极限. 2.了解函数连续性的概念，会求函数的间断点；知道初等函数连续性的概念，掌握初等函数极限的求法，知道闭区间上连续函数的性质.,二. 教学重点和难点,1. 重点 (1)函数极限的概念； (2)无穷小、具有极限的函数与无穷小的关系； (3)极限的四则运算法则； (4)函数在某一点连续的概念. 2. 难点 (1)函数极限的概念； (2)判定函数在某点的连续性.,三. 教学内容的提示,函数的极限与无穷小是微积分中的两个重要的基本概念，是学习微积
4、分的理论基础.微积分的许多基本概念，如函数的导数,函数的定积分等都是在极限与无穷小概念的基础上建立起来的.无穷小与具有极限的函数之间有着十分重要的关系，在推导符合函数的求导法则和建立函数微分的概念时都要用到.极限的四则运算法则是极限运算的重要依据，必须熟练掌握.微积分中许多基本概念和基本理论都涉及到函数连续性的问题，而函数在某一点连续的概念又是讨论函数连续性的基础.,例如，函数在（a,b）内或a,b上的连续性，函数的间断点，以及初等函数在定义域内求极限的方法等都是从函数在某一点连续的概念出发来讨论的.所以函数极限的概念、无穷小、具有极限的函数与无穷小的关系、极限的运算法则、函数在某一点连续的概
5、念等内容都是本章的重点.,函数极限的概念学生不易理解，因此函数极限的概念是本章的一个难点，教学中要考虑学生接受的能力，尽量采用几何分析的方法，从学生熟知的函数的图像出发，使学生在观察自变量的某种,变化趋势下，弄清楚函数的变化趋势.有了感性认 识之后，再给出相应的函数极限的描述性定义.,四.参考教案,五. 基本题型选解及分析,例1 :求极限,分析 :此题应考虑用重要极限,由此推出常用公式,，,，,解法一,以及,.,解法二,解法三 令,，则,时,于是,分析 ：讨论分段函数在分段点是否连续，应考虑函数在分段点是否既左连续，又右连续. 解：,第二章 导数与微分,一 . 教学目的和要求,1、理解导数的概
6、念，了解导数的几何意义，会求曲线在给定点处的切线方程与法线方程，知道函数的可导与连续的关系. 2、熟练掌握函数的和、差、积、商求导法则，复合函数求导法则和基本初等函数的导数公式，并能熟练地求初等函数的导数. 3、理解高阶导数的定义及二阶导数的力学意义，并能熟练地求二阶导数. 4、会求隐函数的导数和使用对数求导法.,二 .教学重点和难点,1.重点 （1）导数的定义； （2）函数的和、差、积、商的求导法则； （3）复合函数的求导法则； （4）基本初等函数的导数公式. 2. 难点 （1）导数的定义； （2）复合函数的求导法则.,三. 教学内容的提示,微分学有两个重要的基本概念，一个是导数，另一个是微
7、分.导数与微分有着密切的联系，它们从不同的角度刻画了两个变量之间的某种变化特征.导数本身还有着广泛的实际应用，凡涉及函数变化率的问题都可借助导数得到解决.因此导数的定义是本章的重点，同时也是本章的难点，因为导数的定义是从实际问题中抽象出来的.要使学生从对函数平均变化率的认识，运用极限思想，进一步发展为建立函数变化率的概念，这里产生了一个从量变到质变的在认识上的飞跃.抽去问题的,实际意义，抓住它们在数量关系结构上的共性进行抽象，这里又有一个从具体到一般的认识过程.讲解导数定义时，引例要注意由浅入深，从特殊到一般，每一个式子，每一个记号的意义都要交待清楚，并且还要进行适量的练习（用定义求导数），才
8、能使学生对它逐步认识，有所理解. 函数的和、差、积、商的求导法则，基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，在整个求导运算中占有十分重要的地位，它们是求初等函数导数的关键.其中复合函数的求导法则即是,一是对复合函数的复合关系不能正确分解；二是不会直接“由外往里逐层求导”，只会引进中间变量按法则求导.因此，这部分内容的教学，不要急于求成，要根据学生的接受能力分步要求，循序渐进，逐步掌握.导数的概念和导数的运算，总结时可通过本章各部分内容之间相互联系的分析，进一步明确重点，抓住中心，以达到对整个内容的全面了解和复习巩固的作用.要针对学生学习过程中存在的问题，进行练习并及时发现和纠正错误，进一步加
9、深学生对概念的理解，提高学生分析问题和解题能力.,四 .参考教案,五.基本题型选解及分析,例1 求下列函数的导数（1）,分析 ：（1）是幂指函数，不能直接运用幂函数或指数函数求导公式；（2）可以运用复合函数和商的求导法则，但比较繁琐，所以采用取对数的方法，可将乘方，乘除法运算降为乘法，加减法运算，从而简化求导过程.,（2）,解 （1）,也可用隐函数求导法：方程两边取对数，,方程两边对,（2）函数两边取对数，,对两边求导数，得,微分部分,一. 教学目的和要求,1.理解微分的概念及其几何意义，掌握微分公式与微分运算法则，并能熟练的求函数的微分 2.会用微分进行简单的近似计算,二. 教学重点和难点,
10、1.重点： 微分的概念及微分的运算. 2.难点： (1) 微分的概念； (2)微分在误差估计上的应用,三. 教学内容的提示,微分同导数一样，是微分学最基本的概念，它在近似计算和积分学中起着重要的作用.由于微分运算和求导运算是密切相关的，而学生一般都已经比较熟练地掌握了求导运算，所以解决微分概念问题是学好本章内容的关键 由于微分的概念要用无穷小的观点来处理，比较抽象，学生不易理解所以它是本章教学的一个难点，解决这一难点的关键在于讲清增量的线性主部的确切含义，揭示出微分概念的本质，,在推导函数增量的近似公式时，则要注意层次分明，抓住主要步骤，使学生了解推导的要领，但不要求学生能独立推导,四. 参考
11、教案,例2： 已知,分析 ： 这是求隐函数的微分，可以先求出,在求导的过程中要特别注意，,应该按复合函数求导法则求导.,解 ： 方程两边对x求导数,于是,或方程两边同时对变量求微分，这时变量,第三章 导数的应用,1.了解拉格朗日定理及它们的几何解释；会用罗必达法则求极限. 2.掌握函数增减性的判别法和函数极值的求法，会解函数最大值和最小值的应用问题. 3.掌握曲线凹凸性的判别法和拐点的求法，能比较准确地作出函数的图象. 4.通过本章学习培养和发展学生一定的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.,一 .教学目的和要求,二 .教学重点和难点,1. 重点： 拉格朗日定理、函数的单调性与极值的判定、
12、求应用问题中的最大值和最小值. 2. 难点： 拉格朗日定理的证明；应用问题中最大值和最小值的列式；函数图象的描绘.,三.教学内容的提示,本章除了要使学生掌握基础知识和基本技能外，还应该培养学生具有一定的逻辑思维能力和运用数学方法分析问题和解决问题的能力.拉格朗日中值定理是微分学中的重要内容，概念性强，逻辑推理层次多，前后联系紧密，是培养和发展学生逻辑思维能力的重要内容.,四.参考教案,五. 基本题型选解及分析,例1 求,解： 此题如果直接运用洛必达法则，原式=,极限不存在；但是，实际上，,故求此极限不能用洛必达法则.,原式=,从此例我们可以看到，对于未定式，洛必达法则很有用，但也不是万能的，同
13、时也不一定是最简单的方法.求未定式的最有效的方法是：洛必达法则与其他方法，如无穷小等价代换，恒等变形，化简，重要极限综合使用.“法无定法”关键是融会贯通，灵活运用. 例2 ：要建造一个体积为V的有盖圆柱形大桶，问如何选择底面半径 r和桶高h，使所用材料最省 ,解： 根据题意要求材料最省，就是要使圆桶表面积最小，由于圆桶的体积V是给定的，设其表面积为A，则,由（2），得,代入（1），得,，,（）,（）,求函数,的最小值，为此求,令,而,所以,所以当取底面半径,第四章 不定积分,一 .教学目的和要求,1.理解原函数、不定积分的概念；了解不定积分和微分之间的内在联系以及两者之间的互逆关系；知道不定积
14、分的几何意义. 2.熟练掌握不定积分的基本公式、基本运算法则、直接积分法，以及第一类换元积分法和分部积分法.,二 .教学重点和难点,1.重点： （1）原函数和不定积分的概念； （2）直接积分法和第一类换元积分法. 2.难点： 换元积分法、分部积分法.,三. 教学内容的提示,原函数和不定积分的概念是学习本章的理论基础.直接积分法和第一类换元积分法既是积分中最常用的积分方法，又是学习其他积分方法的基础，所以它们是本章的重点，务必使学生理解不定积分的概念，熟练掌握这两种基本积分方法. 换元积分法和分部积分法的运算，都要求一定的灵活性和技巧性，学生掌握比较困难，所以是本章的难点.讲授时，应针对教学对象
15、，把握住教材的深广度.重点在使学生熟练运用基本积分方法计算不定积分，而对理论推导，不宜加深和提,高，以免增加难度.同时为了使学生掌握各种类型的基本运算技巧，必须经过比较多的，在课堂教学中要做到讲练结合，加强“练习环节”，使学生经过充分练习，切实掌握不定积分的基本积分方法.,四.参考教案,五. 基本题型选解及分析,例1 求不定积分,分析： 对照公式,为此需换元或凑微分.,，,解 ： 令,例2 ： 求不定积分,分析： 本题的关键在于处理被积函数中的因式,则,解：,例3 求不定积分,分析 : 被积函数是多项式函数与三角函数的乘积形式，应选择分部积分法. 但在使用分部积分法以前应对被积函数加以审视，即
16、如何选择 我们知道：,所以,解:,第五章 定积分及其应用,一. 教学目的和要求,1.理解定积分的概念及其几何意义，掌握定积分的性质 2.熟练掌握牛顿莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法 3.了解定积分元素法的概念，并会利用元素法解决简单的几何、物理问题. 4.知道定积分的近似计算方法，了解广义积分的概念和一阶微分方程，并能进行简单的计算.,二. 教学重点和难点,1. 重点: (1)定积分的定义及其几何意义； (2)牛顿莱布尼兹公式； (3)定积分的元素法. 2. 难点: (1) 定积分的定义； (2)积分上限函数的求导定理； (3)利用元素法解决定积分的实际应用问题.,三. 教学内容的提示,定积分概念不仅是积分学中的重要概念，而且在实际问题中有着广泛的应用.定积分的几何意义是求平面图形面积的依据，而且在实际应用中，不论定积分表示什么实际意义，它的数值总可用曲边梯形面积的代数和来表示，所以定积分的定义及其几何意义是本章的一个重点.定积分的定义比较冗长
