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1、普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第三章 力对点的矩与平面力偶系,本章将研究力对点的矩和力偶的概念及它们的计算，为学习比较复杂的力系打下基础。,教学主要内容,力对点的矩 合力矩定理 力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡。,本章目标要求,理解力矩和合力矩定理，能熟练地计算力对点的矩；,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第一节 力对点的矩的概念及计算,一、力对点的矩,物体在力作用下，除产生移动效应外，还会产生转动效应。下面以扳手拧螺母为例来讨论力对物体转动效应与哪些因素有关。,理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质，掌握力偶的基本运算；,理解平面力偶系的合成和平衡条件，能应用平衡条件求
2、解平面力偶系的平衡问题。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,如图所示，力F使扳手绕螺母中心O转动的效应，不仅与力F的大小有关；,转动中心O称为力矩中心，简称矩心。,矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。,而且还与该力F的作用线到螺母中心O的垂直距离d有关。,因此可用两者的乘积来量度力F对扳手的转动效应。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,改变力F绕O点转向，作用效果也不同。,显然，力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：,（1）力F的大小与力臂的乘积。,（2）力F使物体绕O点的转动方向。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,所以，我们用力的大小与力臂的乘积再加上表示转向的正、负号
3、来表示力F使物体绕O点转动的效应，称为力F对O点的矩，简称力矩。,计算公式为,用符号MO(F)表示。,MO(F) = Fd,通常规定：使物体绕矩心产生逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。在平面问题中，力矩为代数量。,力矩的单位是力与长度的单位的乘积。在国际单位制中，常用（Nm）或（kNm）。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,由右图可看出，力F对点O的矩的大小也可用三角形AOB面积的两倍来表示，即,MO(F) = Fd = 2AOB,力矩在下列两种情况下等于零：,（1）力等于零；,（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,二、合力矩定理,b2,y,O,
4、F1,F2,FR,A,b1,b,B,B1,B2,MO(FR) = 2AOB,MO(F1) = 2AOB1,MO(F2) = 2AOB2,= Ob OA,= Ob1 OA,= Ob2 OA,根据合力投影定理有：,FRY,= F1Y,+ F2Y,即 MO(FR) = MO(F1) + MO(F2),普通高等教育“十一五”国家级规划教材,以上证明可扩展到多个平面汇交力作用于一点的情况。即：,平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。,这就是平面力系的合力矩定理。用公式表示为,合力矩定理建立了平面汇交力系的合力对点的矩与分力对同一点的矩的关系，同时也适用于有合力的
5、其它各种力系。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例3-1 如图，已知F=150N。试计算力F对O点之矩。,F,Fy,Fx,根据合力投影定理有：,MO(F) = MO(Fx) + MO(Fy),= -Fx1 + Fy3,= (-1500.8661 + 1500.53) N m,= 95.1 N m,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第二节 力偶及其基本性质,一、力偶和力偶矩,由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶,1.力偶,用符号（F、F）表示，如图所示,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,力偶的两个力之间的距离d称为力偶臂,力偶所在的平面称为力偶的作用面,力偶
6、不能再简化成更简单的形式,所以力偶与力都是组成力系的两个基本元素,2.力偶矩,力偶由两个力组成，它对物体产生的转动效应，可用力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和来度量,可以证明：力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心位置无关,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,力与力偶臂的乘积称为力偶矩,力偶在平面内的转向不同，作用效应也不相同,用符号M(F、F)来表示，可简记为M,M = Fd,规定：力偶使物体作逆时针转动时，力偶矩为 正号；反之为负。,力偶矩的单位与力矩单位相同，也是（Nm）或（kNm）。,在平面力系中，力偶矩为代数量。其表达式为：,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,
7、力偶和力是并列关系，它的作用效果也取决于其三要素：,即力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用平面,，改变任何一个要素，都将改变这个力偶的作用效应。,力偶在其作用面内除可用两个力表示外，通常还可用一带箭头的弧线来表示，如图所示。,其中箭头表示力偶的转向，M表示力偶矩的大小。,M,M,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,二、力偶的基本性质,力偶有以下基本性质,1. 力偶不能合成为一个合力，所以不能用一个力来代替。,力偶不能和一个力平衡，力偶只能和力偶平衡。,由力偶的定义和力的合力投影定理得出，力偶在任一轴上的投影恒为零。,由此可知，力偶不会使物体移动，只会使物体转动。力偶和力对物体作用的效应不同。,
8、普通高等教育“十一五”国家级规划教材,2. 力偶对其作用平面内任一点矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。,这一性质前已述及。,3.在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶是等效的。,即，只要两个力偶的三要素完全一样，则，这两个力偶的效果就完全相同。,以上性质已为实践所证实。由此，还可得出两个推论：,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,推论1 力偶可以在其作用平面内任意移动或转动，只要不改变力偶的三要素，就不会改变它对物体的转动效应。,即力偶对刚体的转动效应与它在作用平面内的位置无关。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,推论2 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向
9、不变，可同时改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长度，而不改变它对物体的转动效应。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,第三节 平面力偶系的合成与平衡,同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为力偶系。作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。,一、平面力偶系的合成,平面力偶系可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。即,MR = M1 + M2 + + Mn = M,式中MR表示合力偶矩, M1 、M2 Mn表示原力偶系中各力偶的力偶矩。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例3-3 如图所示，有三个力偶同时作用在物体某平面内。已知F1=80N，d1=0.8m, F2=100N
10、, d2=0.6m, M3 = 24 kNm。求其合成的结果。,MR = M1 + M2 + M3 = 800.8 1000.6 + 24,MR = 28 kNm,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,二、平面力偶系的平衡条件,平面力偶系合成的结果为一个合力偶，力偶系的平衡就要求合力偶矩等于零。,因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：,力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。用公式表达为：,M = 0,上式又称为平面力偶系的平衡方程。,对于平面力偶系的平衡问题，利用式（3-6）可以求解一个未知量。,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,例3-4 如图所示的梁AB，受一力偶的作用。已知其力偶矩M = 20kNm，梁长l=4m ，梁自重不计。求A、B支座处反力。,20 kNm,20 kNm,M = 0,即 M = FA 4 20 = 0,解方程得 FB = FA = 5 kN,作业；31、2、3、4,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,
