《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 3-7 广义积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 3-7 广义积分（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、无穷区间上的广义积分,二、无界函数的广义积分,第7节 广义积分,下一页,上一页,返回,一、无穷区间上的广义积分,解 这是一个开口曲边梯形，,为求其面积，任取 b 0, + )，,在有限区间 0, b 上，,以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为,b,下一页,上一页,返回,即,当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，,下一页,上一页,返回,定义 1 设函数 f (x) 在 a, + )上连续，,取实数 b a，,如果极限,则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 a, + ) 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,存在，,否则称广义积分发散.,下一
2、页,上一页,返回,定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b 上连续，,取实数 a b，,如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间 (- , b 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,存在，,否则称广义积分发散.,下一页,上一页,返回,定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续，,且对任意实数 c，,如果广义积分,则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- , + ) 内的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,都收敛，,否则称广义积分发散.,下一页,上一页,返回,若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记,则定义 1，
3、2，3 中的广义积分可表示为,下一页,上一页,返回,例2 判断,解,故该广义积分发散.,例3 计算,解,故该广义积分收敛.,下一页,上一页,返回,例 5 求,解,例4 判断,解,由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以广义积分发散 .,下一页,上一页,返回,例6 证明广义积分,当 p 1 时，收敛；当 p 1 时，发散 .,证 p = 1 时，则,当 p 1 时，,综合上述，,该广义积分收敛.,当 p 1 时，,该广义积分发散.,p 1 时，则,下一页,上一页,返回,二、无界函数的广义积分,下一页,上一页,返回,定义 5 设函数 f (x) 在区间 a, b) 上连续，,取 e 0 ，,
4、如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在区间 a, b) 上的广义积分.,这时也称广义积分收敛，,否则称广义积分发散.,且,即,存在，,下一页,上一页,返回,定义 6 设函数 f (x) 在 a, b上除点 c (a, b) 外连续，,如果下面两个广义积分,则称这两个广义积分之和为函数 f (x) 在区间 a, b 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,否则，称广义积分发散.,记作,即,都收敛，,下一页,上一页,返回,若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，,则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为,下一页,上一页,返回,例7 计算,解,故该广义积分收敛.,例8 计算,解,由,可知，广义积分,和,都发散，,故该广义积分发散.,下一页,上一页,返回,例9 讨论广义积分,解 当 p = 1 时，,则,故广义积分发散.,当 p 1 时，,综上所述，当 p 1 时，该广义积分收敛，,下一页,上一页,返回,
