《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 3-5 微积分的基本公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 3-5 微积分的基本公式（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、变上限定积分,二、牛顿莱布尼兹公式,第5节 微积分的基本公式,下一页,上一页,返回,一、变上限定积分,如果 x 是a, b上任意一点，定积分,表示曲线 y = f (x) 在 a, x 上曲边梯形AaxC 的面积，,如图中阴影部分的面积.,当x在区间a, b上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，,所以定积分,是上限变量 x 的函数,称为变上限定积分或积分上限函数.,记作 (x)，,即,(x),下一页,上一页,返回,定理1 若函数 f (x) 在区间 a, b 上连续，,则变上限定积分,在区间 a, b 上可导，,并且它的导数等于被积函数，,即,证 按导数定义，,给自变量 x 以增量
2、x，x + x a, b，,由 (x)的定义得对应的函数 (x) 的量 (x)，,即,下一页,上一页,返回, (x) = (x + x) - (x),x + x,下一页,上一页,返回,根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间至少存在一点 x ，, (x),又因为 f (x) 在区间 a, b 上连续，,所以，当x 0 时有 x x， f (x) f (x),从而有, (x),故,使,成立.,下一页,上一页,返回,定理1说明,是函数f (x)在区间a, b上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数是存在的，所以，定理1也称为原函数存在定理.,变上限定积分,解 根据定理1，得,下一页,
3、上一页,返回,例2,求 F (x).,解 根据定理1，得,下一页,上一页,返回,例3,求 (x).,解, (x),下一页,上一页,返回,例4,解,下一页,上一页,返回,二、牛顿莱布尼兹公式,定理2 如果函数 f (x) 在区间a, b上连续，,F(x) 是 f (x) 在区间 a, b 上任一原函数，,那么,上述公式建立了定积分与原函数之间的联系，将定积分的计算转化为计算原函数由a到b的增量，从而为计算连续函数的定积分提供了有效而简便的方法. 因此，此定理称为微积分基本定理.,下一页,上一页,返回,证 由定理1知道,在a, b上的一个原函数，,又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 a,
4、 b 上一个原函数，,由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数，,即,把 x = a 代入式中，,则，常数 C = F(a)，,于是得,下一页,上一页,返回,令 x = b 代入上式中，,移项，得,再把积分变量 t 换成 x，,为了使用方便，把,则式就写成如下形式：,得, 牛顿莱布尼兹公式（NL公式）,下一页,上一页,返回,例5 计算下列定积分.,解,下一页,上一页,返回,解,例6 计算,下一页,上一页,返回,解 设ts时小球下落的距离为S=S(t)，由NL公式可知，在时间区间0，4上小球下落的距离S(4)就是函数v=gt在0，4上的定积分，即,例7 一个小球从某高处由静止开始自由下落，由于重力的作用，ts后小球的速度为v=gt，试求在时间区间0，4上小球下落的距离.,下一页,上一页,返回,
