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1、第3章 力矩和平面力偶系,内容提要 本章主要介绍了力对点之矩的概念、平面力偶的概念；讲述了力系对点之矩的计算、力系对点之矩的平衡条件及其应用；讲述了平面力偶系的合成、平面力偶系平衡条件及其应用。,3.1 力对点的矩,力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以扳手拧螺母为例来说明。如图3-1所示，在扳手的A点施加一力F，将使扳手和螺母一起绕螺钉中心转动，这就是说，力有使物体(扳手)产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F的大小有关，而且还与点到力作用线的垂直距离d有关。当d保持不变时，力F越大，转动越快。当力F不变时，d值越大，转动也
2、越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F使物体绕点转动的效应，并称为力F对点之矩，简称力矩，以符号表示，即：,（3-1）,点称为转动中心，简称矩心。矩心到力作用线的垂直距离d称为力臂。 图3-1 图3-2 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。 由图3-2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即： 面积 （3-2）,显然，力矩在下列两种情况下等于零：力等于零；力
3、臂等于零，就是力的作用线通过矩心。 力矩的单位是牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。 【例3-1】 分别计算图3-3所示的F1、F2对点的力矩。 图3-3 解: 由式(3-1)，有：,3.2 合力矩定理,我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R来代替。这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和，这就是合力矩定理。合力矩定理是力学中应用十分广泛的一个重要定理，现用两个汇交力系的情形给以证明。,3.2 合力矩定理,证明：如图3-4所示，设在物体上的A点作用有两个汇
4、交的力F1和F2，该力系的合力为R。在力系的作用面内任选一点为矩心，过点并垂直于A作为y轴。从各力矢的末端向y轴作垂线，令FY1、FY2和RY分别表示力F1、F2和R和在y轴上的投影。,图3-4 由图3-4可见：FY1=O1b, FY2=Ob2 , RY=Ob 各力对O点之矩分别为： 根据合力投影定理有： 上式两边同乘以OA得： 将（a）式代入得： 以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为： （3-3） 虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来的，但可以证明这个定理同样适用于有合力的其他平面力系。,（a）,【例3-2】 图3-5所示每1m长的挡土墙所受土压力的合力为R，它的大小R=200
5、kN，求土压力R使墙倾覆时的力矩。 解: 土压力R可使挡土墙绕A点倾覆，求R使墙倾覆的力矩，就是求它对A点的力矩。由于R的力臂求解较麻烦，但如果将R分解为两个分力F1和F2，而两分力的力臂是已知的。因此，根据合力矩定理，合力R对A点之矩等于F1、F2对A点之矩的代数和。则：,图3-5,3.3 力偶的概念及力偶的基本性质,3.3.1 力偶和力偶矩 在生产实践和日常生活中，经常遇到大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系。这种力系只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应。例如，司机操纵方向盘(图3-6a)，木工钻孔(图3-6b)以及开关自来水龙头或拧钢笔套等。这种大小相等、方
6、向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶，用符号(，)表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。,图3-6,实践表明，当力偶的力F越大，或力偶臂越大，则力偶使物体的转动效应就越强；反之就越弱。因此，与力矩类似，我们用F与d的乘积来度量力偶对物体的转动效应，并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m表示，即： （3-4） 式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定：若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。在平面力系中，力偶矩是代数量。力偶矩的单位与力矩相同。,3.3.2力偶的基本性质,力偶不同于力，它具有一些特殊的性质，现分述如下： 1.
7、力偶没有合力，不能用一个力来代替 由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，如果求它们在任一轴x上的投影，如图3-7所示。设力与轴x的夹角为，由图可得： 这说明，力偶在任一轴上的投影等于零。 既然力偶在轴上的投影为零，所以力偶对物体只能产生转动效应，而一个力在一般情况下，对物体可产生移动和转动两种效应。 力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来代替，即力偶不能简化为个力，因而力偶也不能和一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。 图3-7 图3-8,2.力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关 力偶的作用是使物体产生转动效应，所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对
8、其作用面某一点的力矩的代数和来度量。图3-8所示力偶(，)，力偶臂为d，逆时针转向，其力偶矩为m=Fd，在该力偶作用面内任选一点为矩心，设矩心与的垂直距离为x。显然力偶对O点的力矩为： 此值就等于力偶矩。这说明力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。 3.同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效性(其证明从略) 从以上性质还可得出两个推论： (1)力偶可在其作用面内任意移转，而不会改变它对物体的转动效应。例如图3-9(a)作用在方向盘上的两个力偶(P1，P1)与(P2，P2)只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，作用位置虽不同
9、，但转动效应是相同的。,在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。例如图3-9(b)所示，在攻螺纹时，作用在纹杆上的(F1，F1)或(F2，F2)虽然d1和d2不相等，但只要调整力的大小，使力偶矩，则两力偶的作用效果是相同的。 由以上分析可知，力偶对于物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小、力偶的转向及力偶作用面，即力偶的三要素。因此，在力学计算中，有时也用一带箭头的弧线表示力偶，如图3-10所示，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。,图3-9,图3-10,3.4 平面力偶系的合成和平衡条件,3.4.1平面力偶系的合成 作用
10、在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系。平面力偶系合成可以根据力偶等效性来进行。合成的结果是：平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即： （3-5） 3.4.2 平面力偶系的平衡条件 平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则力偶系中的各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数相等于零。用式子表示为： （3-6） 上式称为平面力偶系的平衡方程。,3.5 平面力偶系平衡方程的应用 【例3-3】在梁AB的两端各作用一力偶，其力偶矩的大小分别为=120kNm，=360kNm，转向如图3-11
11、(a)所示。梁长=6m，重量不计。求A、B处的支座反力。 解：取梁AB为研究对象，作用在梁上的力有：两个已知力偶、和支座A、B的反力RA、RB。如图3-11(b)所示，B处为可动铰支座，其反力RB的方位铅垂，指向假定向上。A处为固定铰支座，其反力RA的方向本来未能确定的，但因梁上只受力偶作用，故RA必须与RB组成一个力偶才能与梁上的力偶平衡，所以RA的方向亦为铅垂。指向假定向下，由式(3-6)得:,图3-11,故,求得的结果为正值，说明原假设RA和RB的指向就是力的实际指向。,小 结,本章讨论了力矩和力偶的基本理论。 1、力矩及其计算 1) 力矩的概念 力矩是力使物体绕矩心转动效应的度量。它等
12、于力的大小与力臂的乘积，在平面问题中它是代数量，规定力使物体绕矩心逆时针方向转动为正，反之为负。即 可见力矩的大小和转向与矩心的位置有关。 2)合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。即 应用合力矩定理常常可以简化力矩的计算。 2力偶的基本理论 1）力偶 由等值、反向、作用线平行而不重合的两个力组成的力系，称为力偶。 2）力偶的性质 力偶个能简化为一个力，也不能和个力平衡，力偶只能与力偶平衡。 力偶对物体的转动效应取决于力偶的作用面、力偶矩的大小和力偶的转向。 在同一平面内的两个力偶，如果它们力偶矩的代数值相等，则这两个力偶是等效的。或者只要
13、保持力偶矩的代数值不变，力偶可在其作用面内任意移转，也可以改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长短。,3）力偶的基本运算 力偶在任一轴上的投影等于零。力偶中的两个力对其作用面内任一点的矩都等于力偶矩，而与矩心的位置无关。 4）力偶的合成与平衡 平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即 平面力偶系的平衡条件是各力偶矩的代数和等于零。即,思考题,1. 试比较力矩和力偶矩的异同点。 2. 组成力偶的两个力在任一轴上的投影之和为什么必等于零? 3. 怎样的力偶才是等效力偶？等效力偶是否两个力偶的力和力臂都应该分别相等？ 习 题 3-1 试计算下列各图中P力对O点的矩。,题3-1图,
14、3-2 如题3-2图，已知挡土墙重W175kN，铅垂土压力W2120kN,水平土压力P=90kN，试求这三个力对前趾点A之矩，并指出哪些力矩有使墙绕A点倾倒的趋势?哪些力矩使墙趋于稳定? 3-3题3-3图所示刚架在B点作用一水平力P，求支座反力RA和RD的大小和方向。刚架重量略去不计。,题3-2图,3-4 物体的某平面内同时作用有三个力偶，如题3-4图所示，巳知F1200 N，F2600N，m10Nm，求此三力偶的合力偶矩。,题3-3图 题3-4图,3-5 沿着刚体上正三角形ABC的三边分别作用着力F1、F2、F3，如题3-5图所示。已知三角形边长是a，而各力大小都等于F。试证明这三个力可以合成为一个力偶，并求出它的力偶矩。,题3-5图,参考答案： 3-1 a) Pl； b) 0； c) Plsin ； d) Plsin ； e)-Pa； f)P(r+l)； g)Psin 。 3-2 -82.5kNm, -240kNm, 144kNm；P产生倾倒的趋势，W1 ，W2使墙趋于稳定。 3-3 3-4 490 Nm。 3-5,
