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1、第十三章 超静定结构的计算, 课节13-1 力法原理和典型方程 课节132 用力法求解超静定结构 课节133 位移法概念、基本未知量和转角位移方程 课节134 用位移法求解连续梁和超静定刚架 课节135 力矩分配法基本原理 课节136 用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架,课节13-1 力法原理和典型方程,本章主要介绍：,一、超静定结构概念及类型,求解超静定结构的基本方法,力法；,力矩分配法的基本原理及其应用。,超静定梁.,1)去掉一根链杆或切断一根链杆，相当去掉 1个约束,位移法;,超静定刚架.,超静定桁架.,超静定拱.,超静定组合结构.,超静定次数的确定,2)去掉一个铰支座或一个单铰，相当去
2、掉 2个约束,3)去掉一个固定端支座或切断一根梁式杆，相当去掉 3个约束,4)将个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接，相当去掉 1个约束,1）,1）,2）,2）,3）,4）,把去掉多余未知力和荷载的静定结构称为力法的基本结构,把作用有多余未知力和荷载的静定结构称为力法的基本体系。,1）基本体系,2）基本体系,2）基本体系,3）基本体系,4）基本体系,4）基本体系,3）基本体系,1）基本结构,1）基本体系,1页,1.力法的基本原理,二、力法,多余未知力X1是力法的基本未知量。,1=11+1P=0,代入上式力法基本方程 ：,b) 基本结构,c) 基本体系,1）建立变形协调条件，又为位
3、移条件,令X1=1时在X1方向产生的位移为11，则11=11 X1，上式可写成：11 X1+1P=0,2）求11和1P，作MP图和 图，由图乘法得,c) 图,d) MP图,ql2/2,l,e) M图,3）画M图,ql2/8,此式为力法基本方程,2、力法的典型方程,3页,对于多次超静定结构，其计算原理与一次超静定结构完全相同,得：三次超静定的力法方程,若用11、12、13表示单位力X1=1、X2=1、X3=1作用时沿X1方向的位移,其几何位移条件为,式中第一项可以写成,n次超静定的力法典型方程,解：,=1,例13-1 试用力法计算图示超静定梁的内力，并绘出弯矩图。,1)建立基本体系。,2)建立力
4、法方程。,不计梁轴向变形时,X2=0,b） 基本体系,3Fl/16,5Fl/32,11 X1+1P=0,3)画MP图和 图，计算系数和自由项,由图乘法有：,4)解力法方程求多余未知力。,得,5)绘制弯矩图 由,例12-5,试用力法计算图示超静定刚架的内力，并绘出弯矩图,4页,b） 基本体系,a） 原结构,解：,1)建立基本体系。,2)建立力法典型方程 。,去掉B处的两个多余约束，得基本体系b),5)绘制弯矩图,ql2/14,ql2/28,3)画MP. 图，计算系数和自由项,4)求解多余未知力,代入力法方程,课节132 用力法求解超静定结构,例13-3 试计算图示排架柱的内力，并作出弯矩图。,解
5、：,1)建立基本体系。,2)建立力法典型方程 。,此排架是一次超静定结构,5)绘制弯矩图,3)画MP. 图。,4)求解多余未知力,支座移动时超静定结构的内力计算,例13-4 图示超静定梁，设支座A发生转角，作梁的弯矩图。,解：,1)建立基本体系。,2)建立力法典型方程 。,原结构为一次超静定结构,5)绘制弯矩图,3)画 图。,4)求解多余未知力,原结构在B处无竖向位移,计算系数和自由项,一、位移法的基本概念,与力法相比，位移法适用于超静定次数较高的结构。,1) 分析图示刚架,2)各杆的内力由力法即可算出,课节133 位移法概念、基本未知量和转角位移方程,基本思路是：以独立结点角位移和结点线位移
6、作为基本未知量，以结点的静力平衡方程建立位移法方程，求解结点线位移和角位移；再利用结点位移和杆端力之间的关系，求出全部内力。,刚架变形只要用1来描述即可。求得1值，刚架的内力就可以确定。,刚架的计算就变为图b、c所示两个单跨超静定梁的计算,3)取结点A列平衡方程,在位移法中，就以结点的转角作为基本未知量，以单跨超静定梁作为计算单元。,二、位移法基本未知量的确定,基本未知量数目等于结点角位移数与独立结点线位移数的总和。,图1：,图1,图2,图3,有C、D、E、F四个刚结点，结点角位移分别为C、D、E、F；有两个独立结点线位移1、2，所以共有6个基本未知量。,图2：,结点E、F为刚结点，其角位移E
7、、F为基本未知量；,铰化后结构为瞬变体系，故结点G的竖向线位移G为基本未知量,图3：,该排架的基本未知量共有三个，分别为F、G和E。,确定未知量的基本方法：,1）数刚结点的数目确定结点角位移数；,2）用铰化结点法确定独立的结点线位移数,三、位移法基本结构的确定,基本未知量确定后，在结点位移处增设约束(刚结点处增加刚臂，线位移处增加链杆)，所得的结构称为位移法基本结构。,可见，在位移法中基本未知量的数目就等于基本结构上所应具有的附加约束的数目。,杆端弯距和杆端位移正负号作如下规定：,单跨超静定梁有三种类型：,图2,基本结构,四、单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力,为线刚度,单跨超静定梁，由荷载或支座移
8、动所引起的内力，都可用力法求得。等截面单跨静定梁的杆端弯矩和剪力见表3-1。,五、等截面直杆的转角位移方程,将查表结果叠加得转角位移方程,1、两端固定梁的转角位移方程,表示杆端弯矩(或杆端剪力)与荷载和支座位移之间关系的表达式称为转角位移方程。,b)转角A引起的杆端内力,c)转角B引起的杆端内力,d)两端相对侧移引起的杆端内力,e) 荷载引起的弯矩剪力,记为：,(15-5),2、一端固定另一端铰支梁的转角位移方程,(15-6),3、一端固定另一端定向支承的转角位移方程,(15-7),1、两端固定梁的转角位移方程,(15-5),各梁的转角位移方程,位移法计算超静定问题一般步骤如下：,课节134
9、用位移法求解连续梁和超静定刚架,1)确定基本未知量和基本结构。,2)列出各杆端转角位移方程。,3)根据平衡条件建立位移法基本方程,4)解出未知量。,5)求出杆端内力。,6)作出内力图。,一般对有转角位移的刚结点列力矩平衡方程； 有结点线位移则考虑线位移方向静力平衡方程。,本节主要介绍：,1、无结点线位移结构的计算,2、有结点线位移刚架的计算,1、无结点线位移结构的计算,解：,3)求未知量B。,位移法应用计算,例13-5 用位移法计算图示连续梁，已知F=3ql/2，EI为常数。试作梁的内力图。,1)确定基本未知量。,2)写出转角位移方程：,梁有一个刚结点角位移B。,对刚结点B列平衡方程,解得,4
10、)求杆端弯矩。,5)画弯矩图和剪力图,解：,例13-6 用位移法计算图示刚架，并作弯矩图。,1)确定基本未知量。,2)写出转角位移方程：,刚架有一个刚结点角位移B。,3)求未知量B。,解得,4)求杆端弯矩。,5)画出弯矩图（图c),取B点列平衡方程,9ql 2/112,2、有结点线位移刚架的计算,解：,例13-7 用位移法计算图示超静定刚架，作出弯矩图。,1)确定基本未知量。,2)写出转角位移方程：,对刚结点C列平衡方程,解得,4)求杆端弯矩。,5)画出弯矩图,C点角位移和一线位移记,3)求未知量、 。,取刚架整体列投影方程,转角位移方程化简得,一、力矩分配法的基本概念,力矩分配法是在位移法基
11、础上发展起来的求解超静定结构的实用方法,1、线刚度i,截取结点A，由力矩平衡方程,课节135 力矩分配法基本原理,线刚度表示单位长度的刚度 。,由转动刚度的定义得各杆分配弯矩为,远端固定SAB=4i；,2、转动刚度S,转动刚度表示杆端抵抗转动的能力,转动刚度它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩 。,远端铰支SAB=3i；,远瑞滑动SAB=i；,远端自由SAB=0,3、分配系数Aj,使结点产生转角的力矩称为该结点将要分配的力矩 。,(a),截取结点A，由力矩平衡方程,即,式中， 表示各杆B端转动刚度之和，将A代人式(a)得：,(a),(b),称为分配系数,由（b)得分配弯矩：,同一结
12、点各杆分配系数之间存在下列关系：,(13-8),分配弯矩(-)不平衡力矩分配系数,下标A表示杆的近端，j表示杆的远端,4、传递系数C,近端的分配弯矩传递给杆的远端，使杆件的远端获得一个传递弯矩MC ，由位移法可得,得,称为传递系数。,传递系数C随远端的支承情况不同而不同：,远端固定,远端铰支,远端滑动,传递弯矩的计算，可用文字表述如下：,传递弯矩=分配弯矩传递系数,二、力矩分配法基本原理,力矩分配法是直接求解杆端弯矩的一种渐近法，它适用于无侧移刚架和连续梁,1、固定状态,2、放松状态,AB、BC杆成为单跨超静定梁。,计算连续粱时，在刚结点B处附加控制转动刚臂将结点固定起来,在荷载作用下，它们的
13、杆端弯矩有,在附加刚臂中产生了约束力矩,该约束力矩是平衡杆端固端弯矩的不平衡部分，称为结点上的不平衡力矩。,取结点B列平衡方程,得,此式表明，结点固定时附加在刚臂上的不平衡力矩，等于汇交于该结点处各杆端固端弯矩的代数和。,为使结构还原，须消除附加刚臂，即放松约束使结点转动B角。,在结点B加一反向外力矩（ ）为放松力矩,各杆分配力矩 、传递力矩MC 为：,综上所述：,可以把力矩分配法的基本思路概括为“固定”和“放松”。,通过固定结点，把原结构改造成各单跨超静定梁的组合体。此时各杆端有固端弯矩，而在被固定的结点有不平衡力矩，此不平衡力矩暂时由附加刚臂承担。,放松结点让其转动使结构恢复到原来的状态。
14、放松过程相当于在结点上又加上了与不平衡力矩等值反向的放松力矩，于是，不平衡力矩被抵消，结点获得平衡。此时，放松力矩将按分配系数大小分配给各杆的近端，再按传递系数的大小传递到各杆的远端。,最后，将结构在固定状态时的固端弯矩与在放松状态时的分配力矩和传递力矩叠加，就可以求得原结构中各杆的杆端弯矩。,通过例题说明用力矩分配法求解单结点结构的运算步骤,解：,例13-8 如图示连续梁，试用力矩分配法作该梁的弯矩图。,1)计算分配系数。,3)计算分配与传递力矩。,4)计算杆端弯矩并画弯矩图,令EI6，AB和BC杆线刚度为,由转动刚度远端固定SAB=4i 远端铰支SAB=3i 远瑞滑动SAB=i 远端自由S
15、AB=0,0.571,0.429,2)计算固端弯矩和不平衡力矩,-135,135,-90,0,-25.7,-19.3,传递系数远端固定C=1/2；远端铰支C=0 ；远端滑动 C=-1。,-12.85,0,-147.85,109.3,-109.3,0,分配传递,课节136 用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架,解：,对于多结点的连续梁和无结点线位移刚架，其计算方法与单结点的结构相同。只是第3)步的计算有一个反复计算的过程。,1)列表计算分配系数,3)计算分配与传递力矩。,4)计算杆端最后弯矩,2)计算固端弯矩.不平衡力矩,例13-9 图示三跨等截面连续梁，试用力矩分配法作该梁的弯矩图。,0,分配系数,固端弯矩,B一次分配,C一次分配,B二次分配,C二次分配,B三次分配,C三次分配,B四次分配,C四次分配,0.6,0.5,0.5,0,0.4,-300,300,-180,0,120,180,60,90,-105,-105,-52.5,0,31.5,21,10.5,15.75,-7.88,-7.88,0,-3.94,2.63,1.58,0.79,1.18,由转动刚度远端固定SAB=4i 远端铰支SAB=3i 远瑞滑动SAB=i 远端自由SAB=0,传递系数远端固定C=1/2；远端铰支C=0
