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1、ThemeGallery PowerTemplate,4-8 从傅立叶级数 到傅立叶变换,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,傅立叶变换的定义,绘制频谱图,内容安排,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,4-8-3 幅度谱和相位谱,4-8 从傅立叶级数到傅立叶变换,到目前为止，我们已经介绍了周期信号傅里叶级数的三种形式，即,三角函数型：,余弦函数型：,式中,是周期信号的基本角频率。,复指数型：,（4-8-3）,（4-8-2）,（4-8-1）,4-8 从傅立叶级数到傅立叶变换,在具体应用中，傅里叶级数的第一种形式，即式（4-8-1）给出 的复指数
2、形式对于傅里叶技术的发展具有重要的理论意义。第二种 形式，即具有实系数的傅里叶级数的三角形式展开（式（4-8-2） 则更适合于计算一个给定周期的信号的傅里叶级数。至于第三种形 式，也就是具有复系数的傅里叶级数的三角函数形式（式（4-8-3） 适用于进行信号的谱分析（频域分析），因为从式（4-8-1）得出的 复系数 提供了关于信号频率 与对应的信号幅度和相位的 重要信息（信号线谱）。,4-8 从傅立叶级数到傅立叶变换,除此之外，在求解由周期正弦波输入产生的系统的零状态响应中，公式（4-8-3）也起着关键的作用，因为式（4-8-3）基于如下事实：可以利用叠加原理来求由周期输入产生的系统响应。 傅立
3、叶级数尽管可以用一组谐波函数的线性组合描述任何有限时间工程信号及无穷时间周期信号，但它却不能够对非周期无穷时间信号进行建模。本讲通过将傅立叶级数的思想应用于非周期信号，平滑地引入傅立叶变换的概念，拓展了信号分析的范围。,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,傅立叶变换是为描述任意周期和非周期的无穷时间信号而引入的一种信号运算。这里周期信号和非周期信号的区别在于：周期信号每隔一个有限长时间T（称为基本周期）重复一次；而非周期信号则不存在这样的周期，使得信号在一有限时间内重复。如果假设一个任意周期信号的基本周期为 T 且满足狄里赫里条件，则令该信号的基本周期 ，显然其波形在有限长时间区间内将
4、不再重复，因而信号也就不具备周期性条件了。换句话说，非周期信号可以认为是无限长周期的信号。,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,在讨论傅立叶变换的定义之前，首先考虑式（4-2-16）给出的 复指数傅立叶级数的系数，为方便计，令,，即,对于上式，当 k 增大时，成谐波关系的各频率分量,将不断,变化。如果将频率增量定义为,（4-8-5）,（4-8-4）,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,可以看出，由于基本频率,是谱线间隔，故信号周期 T 增,越小。当,时，谱线间隔,趋于一个频率的无穷小量,，即,另一方面，随着周期,，频率分量,也由原先的离散频率变成了连续频率,，即,大时谱线间隔将
5、减小，且 T 越大谱线间隔,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,因此，在极限情况下式（4-8-4）可写成,上式方括号中的积分运算,是角频率,的函数，定义为函数f(t)的傅立叶变换。,（4-8-6）,（4-8-7）,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,进一步，将式（4-8-6）代入复指数型的傅立叶级数展开式,由于,时，频率分量将形成一个连续域，亦即,，,），则 f(t),（4-8-1）中，则有,从而傅立叶级数的求和也就变成了一个积分（,又可写成,（4-8-8）,（4-8-9）,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,注意，式中用到了前面提到的关系式,式（4-8-7）和式（4-
6、8-9）分别称之为傅立叶（正）变换 （Fourier transform）和傅立叶逆变换（inverse Fourier transfor）两个公式统称为傅立叶变换对，一般成对给出如下,（4-8-10）,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,注意，式（4-8-10）是以角频率,的形式定义傅立叶变换的， 其特点是角频率（在一定程度上）与系统的时间常数和系统的谐 振频率之间存在直接关系，因此应用该式定义某些系统函数的傅 立叶变换在表现形式上更为简单。如果考虑到， 则可以 给出傅立叶变换的第二种定义形式，即,（4-8-11）,4-8-1 从傅立叶级数到傅立叶变换的演变,与式（4-8-10）比较
7、，式（4-8-11）是以频率 f 定义傅立叶变， 优点是正变换和逆变换形式基本一致，具有很好的对称性，差别 仅仅在于积分变量不同。一些教科书和专著，特别是通信、傅立 叶光学和图像处理专业的文献，习惯于用频率f而不是角频率,表示傅立叶变换。但这两种定义形式没有本质的区别，通过,可以相互转换。,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,通常称信号 x(t)为时域信号是指其自变量是时间 t，称它的傅立 叶变换 或 为频域信号则是因为它的自变量 或 f 代表频 率。频率 f 是时间的倒数（即 ），而角频率 则与时间倒 数成正比（ ）。连续信号的傅立叶变换在数学、物理以及 某些工程应用中，信号及其变换的自变量虽
8、有可能不是时间和频率， 但两者之间总是和对方的倒数存在正比关系。 傅立叶正变换,或,（4-8-13）,（4-8-12）,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,也被称为信号 x(t) 的谱分析，因为求一个信号的傅立叶变换就是,。反之傅立叶逆变换,或,则被称为信号 x(t)的合成或综合，因为求一个信号傅立叶变换的 逆变换就是根据各频域分量 或 X(f) 重构或者还原信号 x(t)的过 程。,或连续频率 f 上的复分量,或,提取出信号 x(t) 在连续角频率,（4-8-14）,（4-8-15）,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,傅立叶变换的物理意义与,或 X(f )的单位密切相关。我们先 看 X(f)的
9、单位，它取决于信号 x(t)的单位。为清楚起见，不妨假设 x(t)为一电压信号，单位为伏特（V），傅立叶变换的过程是从 x(t) 乘以复指数因子,开始，这里复指数因子,是由复数,（无量纲）以及频率 f 和时间 t 组成。由于频率 f 的单位是Hz或,时间单位是 s，所以,就是无量纲的。然后用 x(t) 乘以复指数,并在时间域上求积分，由于 x(t)的单位为V，dt 的单位是,，因此 X(f)的单位就是,。如果将,，显然它的物理意义将更加清楚，,并且它还是变量,的单位。与此类似，X(f)的单位,因子,s，故这个积分的单位是,X(f)的单位写成,因为,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,图4-8-1
10、给出信号 x(t)的傅立叶变换（式（4-8-12）的图形解释。 它可以认为是输入信号 x(t)与本地振荡,或,经混频（乘法器）,图4-8-1 傅立叶变换的图形解释,后通过带通滤波器（积分器）的输出（频谱）。,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,信号从时域到频域，或者从频域到时域的变换是信号处理的核心 运算。例如在工程上将微分方程从时域变换到频域后再求解，比单 纯在时域求解要方便的多。x(t)与 或X(f)之间的变换可以用下面 的简单形式表示,或,由于上述傅立叶变换的两种描述形式可以用,进行转换，,形式为主要研究对象。,它们形成了一个傅立叶变换对。,简便起见今后我们以傅立叶变换的,（4-8-16）
11、,（4-8-17）,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,例4-8-1 求宽度为 T 的矩形脉冲信号,解：因为矩形脉冲信号的宽度T，故,的傅立叶变换。,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,上式方括号中,是偶函数，,是奇函数，因此,由傅立叶变换的 f 描述形式,（4-8-18）,4-8-2 傅立叶变换的物理意义,有,可以看出，上面给出的傅立叶变换的两种描述形式,和 X(f),进行转换，而且他们都是实函数。,可以用,（4-8-19）,4-8-3 幅度谱和相位谱,一般意义上的傅立叶变换,是关于实变量,（角频率）的,式中,又被称之为频谱函数，而其模函数,称为幅度谱，,称为相位谱。,和,之所以称之为谱， 是因
12、为它们所描述的量都是频率的函数。当然，这个量是可以随 其它物理量而变化的，如光学中它表示波长的谱，X 射线光谱学 中它表示射线的能量谱。这里幅度谱和相位谱的概念是周期信号 线谱概念的自然推广。,复函数，它可以用以下任意一种形式进行描述：,相位或幅角函数,（4-8-20）,4-8-3 幅度谱和相位谱,和,（4-8-21）,（4-8-22）,4-8-3 幅度谱和相位谱,以角频率,为横坐标分别画出,和,，就得到信号 x(t) 的幅度谱图和相位谱图。在控制工程中这两幅图又被称为幅频特性 和相频特性。,（4-8-24）,（4-8-25）,4-8-3 幅度谱和相位谱,例4-8-2 在例4-8-1中，矩形脉
13、冲信号,sinc 函数，这是一个实函数。现设该矩形脉冲信号的宽度 T=1， 并将其右移2个单位后得到,解： 右移2个单位后 x(t-2) 的傅立叶变换为,总之，能够进行傅立叶变换运算的实信号的幅度谱是偶函数，,相位谱是奇函数。,的频谱函数是,，试求出它的频谱图。,4-8-3 幅度谱和相位谱,求上式的最好方法（在学习傅立叶变换的时移性质之前）是作,，则有,显然，延迟以后的矩形脉冲信号,的频谱函数已经,变量代换，即令,不是一个实函数。它的幅度谱函数为,4-8-3 幅度谱和相位谱,又因为,故其相位谱函数为,w = -20:0.01:20; X = sinc(w/2/pi).*exp(-j*2*w);
14、 subplot(211)，plot(w,abs(X) angX =angle(X); subplot(212)，plot(w,angX),本例的幅度谱和相位谱可用以下程序计算：,4-8-3 幅度谱和相位谱,程序绘制的幅度谱图和相位谱图如图4-8-2所示。,4-8-3 幅度谱和相位谱,例4-8-3 试证明图4-8-3所示奇函数,的频谱函数是虚奇函数。,4-8-3 幅度谱和相位谱,证明：为证明这个结论，只需求出它的傅立叶变换 根据式（4-8-12），x(t)的傅立叶变换为,上式显然是虚函数且是,的奇函数。结论得证。,4-8-3 幅度谱和相位谱,例4-8-3 的幅度谱函数为,又因为它是虚函数，故其
15、相位谱函数为,w = -6:0.01:6; X = j*w.*sinc(w/2).2; subplot(211) plot(w,abs(X) angX =angle(X); subplot(212) plot(w,angX),例4-8-3的幅度谱和相位谱可用以下程序计算：,4-8-3 幅度谱和相位谱,程序绘制的幅度谱图和相位谱图如图4-8-4所示。,4-8-3 幅度谱和相位谱,例4-8-4 求矩形脉冲频谱,解：因为矩形脉冲频谱,的宽度为2T，即,根据傅立叶逆变换的定义式（4-8-9），有,的傅立叶逆变换。,4-8-3 幅度谱和相位谱,可以看出，矩形脉冲频谱,矩形脉冲频谱对应的时域函数 x(t) 的波形可用以下程序绘制：,t = -2*pi:0.01:2*pi; T=pi; % 矩形脉冲频谱的宽度 xt = T/pi.*sinc(T.*t/pi); plot(t,xt),的傅立叶逆变换 x(t),是抽样函数。,4-8-3 幅度谱和相位谱,图4-8-5给出了矩形脉冲频谱的频谱图及程序绘制的时域函数 x(t),的波形。,
