《土木工程力学 教学课件 ppt 作者 王长连 第十三章 梁的应力及强度条件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《土木工程力学 教学课件 ppt 作者 王长连 第十三章 梁的应力及强度条件（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三章 梁的应力及强度条件,第一节 梁弯曲时的正应力计算公式 第二节 截面的几何性质 第三节 梁弯曲时正应力强度条件及其应用 第四节 梁弯曲时切应力切应力强度条件及其应用 第五节 改善梁弯曲强度的措施,第十三章 梁的应力及强度条件,梁的横截面上一般产生两种内力-剪力FQ和弯矩M，如图7-2所示。但是仅仅知道梁内力的大小，还不能将梁的截面尺寸设计出来。 为了进行梁的强度计算，还必须进一步研究梁横截面上的应力分布情况。 由图13-1知，梁的横截面上的剪力FQ应与截面上微剪力dA有关，而微剪力dA对z轴不产生力矩，所以弯矩M应与微力矩ydA有关。 因此在梁横截面上同时有弯矩和剪力时，也同时有正应力
2、和切应力，本章在导出梁横截面上正应力和切应力计算公式的条件下，进而建立梁的强度条件。,图131,第一节 梁弯曲时的正应力计算公式,我们来分析如图13-2a所示的简支梁，其荷载和梁的支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图如图13-2b、c所示。 由内力图可知，在梁的中段CD部分的各个横截面上，没有剪力作用，并且弯矩都等于常用量Fa，通常我们把这种横截面上，只有常量弯矩作用，而无剪力作用的梁段叫做纯弯曲梁段。,图132,至于梁的AC段和DB段，在它们的各个横截面上既有弯矩M又有剪力FQ作用，通常把这种梁段叫横力弯曲梁段。为了使研究问题简单，下面以矩形截面梁为例（如13-3a），先研究
3、梁处于纯弯曲时横截面上的正应力，进而推广应用到梁的一般弯曲时横截面的正应力计算。,一、梁纯弯曲时正应力的一般计算公式,1几何变形方面 对于矩形等截面直梁在纯弯曲时的变形情况，可以通过对侧面画有小方格的橡皮模型梁，进行弯曲实验来观察到（图13-3a及b）。这些小方格是由绘制在矩形横面梁表面上一系列与梁轴线平行的纵向线和与梁轴线垂直的横向线构成的。在梁的两端各施加一个力偶矩M并使梁段发生弯曲时，这时可以看到如下的一些现象： （1）所有纵向线（如图13-3中的1-1线、2-2线）都弯成了曲线，并仍旧与挠曲了的梁轴线（挠曲轴）保持曲线相互平行关系，并且靠近梁下边缘（凸边）的纵向线伸长了，而靠近梁上边缘
4、（凹边）的纵向线缩短了（图13-3b、d）。 （2）所有横向线（如图13-3中mn线、pq线）仍旧保持为直线，只是相互倾斜了一个角度，但仍与弯成曲线的纵向线保持垂直关系，即各个小方格的直角在梁弯曲变形后仍为直角（图13-3b、d）。 （3）矩形截面梁的上部变宽，下部变窄（图133d）。,图13-3,1几何变形方面,对于纯弯曲情况下的梁，作出如下的假设。 1）平面假设 : 在纯弯曲时，梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，即梁纯弯曲后的横截面仍然垂直于梁的挠曲后的轴线； 2）各纵向纤维单向受拉压变形假设:把梁看成是由无数根纵向纤维组成，而各纵向纤维只受到单向拉伸或压缩变形，而纵向纤维间不存在相互挤
5、压变形的问题； 3）各纵向纤维的变形与它在梁横截面宽度上的位置无关，即在梁横截面上处于同一高度处的纵向纤维变形都相同。 由现象3）和假设2）我们知道，梁的上部纵线缩短，截面变宽，表示梁的上部各根纤维受到压缩变形；梁的下部纵线伸长，截面变窄，表示梁的下部各根纤维受到拉伸变形。从上部各层纤维缩短到下部各层纤维伸长的连续变形中，必然有一层纤维既不缩短也不伸长，这层纤维称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴（图133c）。中性轴将梁横截面分成两个区域：中性轴以上为受压区，中性轴以下为受拉区。,根据平面假设可知，纵向纤维的伸长或缩短是由于横截面绕中性轴转动的结果。现在来求任意一根纤维ab的线应变。为
6、此，用相邻两横截面mm和nn从梁上截出一长为dx的梁段（图134a）。 设O1O2为中性层（它的具体位置现在还不知道），两相邻横截面mm和nn转动后其延长线相交于O点，O点为中性层的曲率中心。中性层的曲率半径以表示。 两个横截面间的夹角以d表示。设y轴为横截面的纵向对称轴，z轴为中性轴（由平面弯曲可知中性轴一定垂直于截面的纵向对称轴），求距中性层为y处的纵向纤维ab的线应变（图134b）；,图134,纤维ab的原长 ，其变形后的长度为: 故ab纤维的线应变为： 对于确定的截面来说，是常量。所以各纤维的纵向线应变与它到中性层的距离y成正比。 对图134a所示的梁，当我们所考虑的纤维是在中性层以下
7、时，距离y为正值，应变也为正值，材料处于被拉伸的状态；当所考虑的纤维是在中性层以上时，则y与都为负值，材料处于被压缩的状态。,2物理关系方面,对于由弹性材料做成的梁，根据第十章第二节所学习过的拉、压胡克定律（E），因此将上面导出的=y/代入拉、压胡克定律，即得 对于确定的截面和材料，与E均为常量。因此，式表示梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比，即弯曲正应力沿梁截面高度h按线性规律分布，并且在中性轴以下的为拉应力，在中性轴以上的为压应力，其正应力分布情况如图135b所示。,图135,3静力学关系方面,对于纯弯曲的梁，横截面上的内力只有弯矩M（图135a）。如果在梁的横截面上任
8、意取一个中心点坐标为(z，y)的微面积dA，则作用在这个微面积上的微内力为dFN=dA。因为外力偶矩M与横截面上各微面积的微内力dFN=dA 组成一个平衡力系(图135b，c)。 因为微内力dFN=dA的方向平行于x轴，它在y轴和z轴上的投影都为零， 由Fx=0 及Mz=0，得 将式代入式，得 或 由于 E/0，所以一定有 而 ，Sz则代表截面对中性轴的静矩。此式表明截面对中性轴的静矩必须等于零。由此可知，直梁弯曲时，中性轴z必定通过截面的形心，并且与横截面的对称轴（即y轴）垂直。,梁在纯弯曲时正应力的计算公式,将式代入式得， 即 而 就是横截面的面积A对中性轴oz的惯性矩IZ，即令 （参看本
9、章第二节的惯性矩及惯性半径的内容）。因而上式就可以写成 (13-1) 式中1/是中性层的曲率。由于梁的轴线位于中性层内，所以也是梁弯曲后梁轴线的曲率，它反映了梁的变形程度。EIZ称为梁的抗弯刚度，它表示了梁抵抗弯曲变形的能力，梁的抗弯刚度EIZ越大，曲率就越小，即梁的弯曲变形也就越小；反之，梁的抗弯刚度EIZ越小，则曲率就越大，即梁的弯曲变形也就越大，为此，改变梁的抗弯刚度EIZ的大小，就可以调节和控制梁的变形大小。式（131）是计算梁弯曲变形的基本公式。 将式（131）代入式得 (13-2) 这就是梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式。由此可知：梁横截面上任一点处的正应力，与截面上的
10、弯矩M和该点到中性轴的距离y成正比，而与截面对中性轴的惯性矩IZ成反比。,正应力正负号,在应用 计算梁横截面上任一点的正应力时，应该将M和y的数值及正负号一同代入，如果得出 是正值，就是拉应力，如果得出的 是负值，就是压应力。 或者在计算时，只将M和y的绝对值代入公式，而正应力的性质（拉或压）则由弯矩M的正负号及所求点的位置来判断。 当M为正时，中性轴以上各点为压应力，则取负值；中性轴以下各点为拉应力，则取正值（图136a）。 当弯矩M为负时则相反（图136b）。,图136,二、正应力公式的适用条件,1. 由正应力计算公式（132）式的推导过程知道，它的适用条件是：纯弯曲梁；梁的最大正应力不超
11、过材料的比例极限P ，即梁处于弹性变形范围内。 2. 式（122）虽然是由矩形截面梁推导出来的，但它也适用于所有横截面有纵向对称轴的梁。例如圆形、工字形、T形、圆环形等（图137）。 3. 剪切弯曲是弯曲问题中最常见的情况，在这种情况下，梁横截面上不仅有正应力存在，而且还有切应力存在。由于切应力的存在，梁的横截面将会发生翘曲，此外，在与中性层平行的纵截面之间，还会有横向力引起的挤压应力。它们都会对正应力有一定的影响，但由于精确理论分析证明，对于梁的跨度l与横截面高度h之比大于5时，上述应力对正应力的影响甚小，可以忽略不计。而在工程中常见梁的值一般都远大于5，所以式（132）在一般情况下也可以用
12、于剪切弯曲时横截面上各点正应力的计算。,图137,例13-1 简支梁受均布载荷q作用，如图138所示。已知q6kN/m，梁的跨度L4m，截面为矩形，且b120mm，h180mm。已知对z轴惯性矩。试求： （1）C截面上a、b、c三点处的正应力； （2）梁的最大正应力max 及其位置。,例13-1,图138,解： （1）求指定截面上指定点的应力 先求出支座反力，由对称性及Fy=0 ， 得,再计算C截面的弯矩 然后计算矩形截面对中性轴z的惯性矩： 再按式（132）计算各指定点的正应力：,（2）绘出该梁的弯矩图如图138b所示。由图可知，最大弯矩发生在梁的跨中截面，其值为： 梁的最大正应力发生在最大
13、弯矩Mmax所在截面的上、下边缘处。 由梁的最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处； 最大压应力发生在跨中截面的上边缘处。其最大正应力的值为,例13-2 简支梁受集中载荷F作用，如图139所示。已知F240kN，梁的跨度L6m，截面为T形，尺寸如图所示。已知该T形截面梁对z轴的惯性矩。试求 （1）D截面上a、b、c、d、e、f、g点的正应力； （2）梁的最大拉应力与最大压应力及其所在位置； （3）绘出最大拉应力及压应力所在截面上的正应力分布图。,例13-2,图139,解: （1）先作出梁的内力图，并求出该梁指定截面D上的内力，进而求出各指定点的应力。 首先求出支座反力，由对称性及Fy=0得,其次作
14、出该梁的弯矩图如图139d所示。 根据弯矩图查出或直接计算出指定截面D的弯矩MD 进而计算指定截面D上各指定点的应力。 据式（132），计算各指定点应力如下：,例13-2:第二页,例13-2:第三页,例13-2:第四页,在此值得说明的是，正应力也不一定都按公式（132）计算，当知道一点的正应力后，按比例计算更简单，请读者试之。 （2）根据所作出的弯矩图139c可知，梁的最大弯矩发生在跨中截面C，其最大弯矩为Mcmax=360kN.m，该截面的下边缘各点产生最大拉应力tmax，该截面的上边缘各点产生最大压应力cmax，现计算如下： （3）根据（2）的计算可以绘出横截面C上的应力分布图如图139c
15、所示。,第二节 截面的几何性质,在结构设计中，我们经常会遇到一些与构件截面的形状、尺寸有关的几何量。 例如，在推导梁的正应力计算公式时，会遇到惯性矩IZ；在计算梁的最大正应力时，会遇到抗弯截面系数WZ； 在计算杆件扭转时的应力和进行扭转杆的强度计算时，会遇到极惯性矩IP和抗扭截面系数WP； 在计算拉（压）杆的应力时，会遇到截面面积A等等。 上述这些量如IZ、WZ、IP、WP及A等，它们都是仅与构件横截面的形状及尺寸有关的几何量，所以我们把这些几何量统称为平面图形的几何性质。,一、静矩与形心,1、静矩与形心的基本概念 在图13-10中，设某已知截面图形的面积为A，yoz为任意选定的直角坐标系。并定义用Sy及Sz表示的以下两个积分 (13-3) 分别为截面图形对y轴及z轴的静矩。 由定义式（133）可见，随着所选取的坐标轴y、z位置的不同，静矩Sy及Sz之值可以为正、为负或为零。静矩的量钢为长度3，常用单位为mm3或cm3。 将静矩Sy及Sz分别除以截面图形的面积A，得 （134） 上式中，坐标yc及zc所确定的点C（yc，zc），称为截面图形的形心（见图13-10）。,图13-10,2、简单图形静矩的计算,当截面的形心位置已知时，可由形心坐标与面积的乘积求得静矩，即 (13-5) 在图形平面内过形心的轴线称为形心轴。由式（13-5）可见，截面图形对形
