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1、高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题 一般为中档题，各种题型均有可能出现 预测 2017 年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应 用数学知识分析、解决问题的能力 1向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量 (2)零向量的模为 0，方向是任意的，记作 0. (3)长度等于 1 的向量叫单位向量 (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量 (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量零向量和任一向量平行 2共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当存在唯一一个实数 ，使 ba. 3平面向量基本定理 如果
2、 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有 且只有一对实数 1、2，使 a1e12e2. 4两向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上任取一点 O，作a，b，则AOB(0 OA OB 180)叫作 a 与 b 的夹角 5向量的坐标表示及运算 (1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1) (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1) AB 6平面向量共线的坐标表示 已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a 与 b 共线 7平面向量
3、的数量积 设 为 a 与 b 的夹角 (1)定义：ab|a|b|cos. (2)投影：|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影 ab |b| 8数量积的性质 (1)abab0； (2)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|；特别地， aa|a|2； (3)|ab|a|b|； (4)cos. ab |a|b| 9数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2) (1)abx1x2y1y2； (2)|a|； x2 1y2 1 (3)abx1x2y1y20； (4)cos. x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2
4、2 【误区警示】 1两向量夹角的范围是0，ab0 与a，b为锐角不等价；ab0 与a，b为 钝角不等价 2点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别 3a 在 b 方向上的投影为，而不是. ab |b| ab |a| 4若 a 与 b 都是非零向量，则 ab0a 与 b 共线，若 a 与 b 不共线，则 ab00. 考点一 平面向量的概念及线性运算 例 1(2016高考全国甲卷)已知向量 a(m,4)，b(3，2)，且 ab，则 m_. 【答案】：6 【解析】：基本法：ab，ab 即(m,4)(3，2)(3，2) Error!故 m6. 速解法：根据向量平行的坐标运算求解： a(m,
5、4)，b(3，2)，ab m(2)430 2m120，m6. 【变式探究】(1)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量( ) AC BC A(7，4) B(7,4) C(1,4) D(1,4) 【答案】：A 【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两 向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解 (2)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则( ) EB FC A. B. AD 1 2AD C. D. BC 1 2BC 【答案】：A 【解析】：基本法一：设a，b，则 ba， ab，从而 AB AC EB 1 2
6、FC 1 2 EB (ab)，故选 A. FC ( 1 2ba) ( 1 2ab) 1 2 AD 基本法二：如图， () EB FC EC CB FB BC EC FB 1 2 AC AB 2. 1 2 AD AD 考点二 平面向量数量积的计算与应用 例 2(2016高考全国丙卷)已知向量，则ABC( ) BA ( 1 2， 3 2) BC ( 3 2 ，1 2) A30 B45 C60 D120 【答案】：A 【变式探究】(1)向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a( ) A1 B0 C1 D2 【答案】：C 【解析】：基本法：因为 2ab2(1，1)(1,2)(2，2)(1,2)
7、(1,0)，所以 (2ab)a(1,0)(1，1)110(1)1.故选 C. 速解法：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3， 从而(2ab)a2a2ab431.故选 C. 【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定 义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量 的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则_. AE BD 【答案】：2 【解析】：基本法：以、为基底表示和后直接计算数量积 AB AD AE BD ， AE AD 1 2AB BD AD AB ()
8、 AE BD (AD 1 2AB ) AD AB |2 |222 222. AD 1 2 AB 1 2 速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解 1.【2016 高考新课标 2 理数】已知向量(1,)(3, 2)am a ，=，且()abb +，则 m （ ） （A）8 （B）6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量ab(4,m2) ，由(ab)b 得4 3(m2) ( 2)0 ，解得 m8，故选 D. 2.【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个 三等分点，4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是 .
9、 【答案】 7 8 3.【2016 年高考四川理数】在平面内，定点 A，B，C，D 满足DA =DB =DC , DA DB =DB DC =DC DA =-2，动点 P，M 满足AP =1，PM =MC ，则 2 BM 的 最大值是( ) （A） 43 4 （B） 49 4 （C） 376 3 4 （D） 372 33 4 【答案】B 【解析】甴已知易得1220 , DAADCADBDDBDCBC .以 D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 2 , 0 ,1,3 ,1,3 .ABC设,P xy由已知1AP ，得 2 2 21xy， 又 1313 3 , 2222 xyxy
10、 PMMCMBM 2 2 2 +13 3 4 xy BM ，它表示圆 2 2 21xy 上的点 xy， 与点 1,3 3 的距离的平方的 1 4 ， 2 22 2 max 149 33 31 44 BM ，故选 B. 4.【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个 三等分点，4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是 . 【答案】 7 8 【2015 高考福建，理 9】已知 1 ,ABAC ABACt t ，若P 点是ABC 所在平 面内一点，且 4ABAC AP ABAC ，则PB PC 的最大值等于（ ） A13 B 15 C19 D21
11、 x y B C A P 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 1 ( ,0)B t ，(0, )Ct， 1AP （，0)+4(0, 1)=(1, 4)，即1P （，4)，所以 1 1PB t =（，-4) ， 1PC =（，t -4) ，因此PB PC 1 1416t t 1 17(4 ) t t ，因为 11 4244tt tt ，所以PB PC 的最大值 等于13，当14t t ，即 1 2 t 时取等号 【2015 高考湖北，理 11】已知向量OAAB ，| 3OA ，则OA OB . 【答案】9 【解析】因为OAAB ，| 3OA ， 所以OA OB
12、93|)( 222 OAOBOAOAABOAOA. 【2015 高考山东，理 4】已知菱形ABCD的边长为a ，60ABC ,则 BD CD （ ） （A） 2 3 2 a （B） 2 3 4 a （C） 2 3 4 a （D） 2 3 2 a 【答案】D 【解析】因为 BD CDBD BABABCBA 2 222 3 cos60 2 BABC BAaaa 故选 D. 【2015 高考陕西，理 7】对任意向量, a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A| |a ba b B| |abab C 22 ()|abab D 22 ()()ab abab 【答案】B 【解析】 【2015 高考四川，理 7】设四边形 ABCD 为平行四边形，6AB ，4AD .若点 M，N 满足3BMMC ，2DNNC ，则AM NM （ ） （A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C 【
