辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

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1、20192019 年大连市高三第二次模拟考试年大连市高三第二次模拟考试 数学（理科）数学（理科） 一、选择题一、选择题: :每小题各有四个选项，仅有一个选项正确每小题各有四个选项，仅有一个选项正确. . 1.复数（ 是虚数单位） ，则 的模为（ ） A. 0B. 1C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据模长的定义求得结果. 【详解】 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题. 2.已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据补集定义求得，再利用交集定义求得结果. 【详解】 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合运算中的交集

2、和补集运算问题，属于基础题. 3.命题“，”的否定是（ ） A. ，B. ， C. ，D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据特称量词的否定得到结果. 【详解】根据命题否定的定义可得结果为：， 本题正确选项： 【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题. 4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合初等函数的奇偶性和单调性可排除选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方 法可证得 正确. 【详解】不是单调递增函数，可知 错误； ，则函数为偶函数，可知 错误； 在上单调递减，可知 错误； ，则为奇函数；当时，

3、单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，根据奇函 数对称性，可知在上单调递增，则 正确. 本题正确选项： 【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 5.已知等比数列的前 项和为，则数列的公比（ ） A. -1B. 1C. 士 1D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 分别在和列出和，构造方程求得结果. 【详解】当时，满足题意 当时，由得：，即，解得： 综上所述： 本题正确选项： 【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略的情况造成求解错误. 6.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于 ， 两点， 是椭圆的一个焦点，则的周长 的最小值为（ ） A. 12B. 14C. 1

4、6D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】 根据椭圆对称性可求得为定值，再结合，从而得到所求周长的最小值. 【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称 设 为椭圆另一焦点，则四边形为平行四边形 由椭圆定义可知： 又， 又为椭圆内的弦 周长的最小值为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的求解问题，重点考查学生对于椭圆几何性质的掌握， 关键是能够利用椭圆的对称性和定义求得的值. 7.把标号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入标号为 1，2，3，4 的四个盒子中，每个盒子只放一 个小球，则 1 号球不放入 1 号盒子的方法共有（ ） A. 18 种B. 9 种C. 6 种D

5、. 3 种 【答案】A 【解析】 【分析】 先确定 1 号盒子的选择情况，再确定 2、3、4 号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解。 【详解】由于 1 号球不放入 1 号盒子，则 1 号盒子有 2、3、4 号球三种选择，还剩余三个球可以 任意放入 2、3、4 号盒子中，则 2 号盒子有三种选择，3 号盒子还剩两种选择，4 号盒子只有一种 选择，根据分步计数原理可得 1 号球不放入 1 号盒子的方法有种。 故答案选 A。 【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题。 8.已知圆锥的母线长为 6，母线与轴的夹角为 30，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C.

6、 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据母线长和母线与轴的夹角求得底面半径和圆锥的高，代入体积公式求得结果. 【详解】由题意可知，底面半径；圆锥的高 圆锥体积 本题正确选项： 【点睛】本题考查锥体体积的求解问题，属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图，若输出结果为 1，则可输入的实数 值的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图的含义，得到分段函数，由此解出关于 的方程 ，即可得 到可输入的实数 值的个数。 【详解】根据题意，该框图的含义是： 当 时，得到函数 ；当时，得到函数， 因此，若输出的结果为 1 时， （1） 若，得到，解得，

7、 （2） 若，得到，解得， 因此，可输入的实数 的值可能为 ， ，共有 2 个。 故答案选 B。 【点睛】本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题。 10.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由，比较 、 的大小，利用中间量 比较 、 ，从而得解。 【详解】 ， ，即 ， ， ， ， ，即 ， ，即。 故答案选 B。 【点睛本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较， 有一定难度。 11.已知 是双曲线 的左焦点，过点 且倾斜角为 30的直线与曲线 的两 条渐近线依次交于 ， 两点，若 是线段的中点，且 是线段

8、的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 联立直线和渐近线方程求得纵坐标，根据可得之间的关系，从而可用 表示出坐 标，利用中点坐标公式得到 ，从而求得斜率. 【详解】由题意知，双曲线渐近线为： 设直线方程为： 由得：；同理可得： 是中点 ， ， ， 本题正确选项： 【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间 的关系，从而求解出之间的关系. 12.函数（， 是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实 数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 函数（， 是自然对数的底数，）存在

9、唯一的零点等价于函 数 与函数只有唯一一个交点，由于，可知 与的交点为，分别研究与的单调，根据单调得到与的大致图像，从 图形上可得要使函数 与函数只有唯一一个交点，则， 即可解得实数 的取值范围。 【详解】函数（， 是自然对数的底数，）存在唯一的零点 等价于函数 与函数只有唯一一个交点， ， 函数 与函数唯一交点为， 又 ，且， ， 在 上恒小于零，即在 为单调递减函数， 又 是最小正周期为 2，最大值为 的正弦函数， 可得函数 与函数的大致图像如图： 要使函数 与函数只有唯一一个交点，则， ， 即 ，解得， 又 所以实数 的范围为。 故答案选 A 【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调

10、性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数 的交点问题，通过图像进行分析研究，属于难题。 二、填空题。二、填空题。 13.在中，则角 的大小为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出的形式，进而求得结果. 【详解】由正弦定理得：，即 则 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题. 14.已知函数是定义域为 的偶函数，且在上单调递增，则不等式 的解集为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用偶函数关于 轴对称，又由在上单调递增，将不等式转化为 ，即可解得的解集。 【详解】 函数是定义域为 的偶函数， 可转化为， 又 在上单调递增，

11、，两边平方解得： ， 故的解集为。 【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不 等式进行转化是解决本题的关键。 15.已知各项都为正数的数列，其前 项和为，若，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 利用得到递推关系式，整理可知，符合等差数列定义，利用 求出后，根据等差数列通项公式求得结果. 【详解】由题意得： 则 即 各项均为正数，即 由得： 数列是以 为首项， 为公差的等差数列 本题正确结果： 【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用证明出数列为等差数列， 进而根据等差数列的通项公式求得结果. 16. ， 为单位圆（圆心为 ）上的点， 到弦

12、的距离为， 是劣弧（包含端点）上一动点， 若 ，则的取值范围为_. 【答案】 【解析】 【分析】 以圆心 为坐标原点建立直角坐标系，设 ， 两点在 轴上方且线段 与 轴垂直，分别表示出 ， 两点的坐标，求出 、向量，即可表示出向量，由于 是劣弧（包含端点）上一动 点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出的取值范围。 【详解】如图以圆心 为坐标原点建立直角坐标系，设 ， 两点在 轴上方且线段 与 轴垂直， ， 为单位圆（圆心为 ）上的点， 到弦的距离为， 点 ，点， ，即， ， 又 是劣弧（包含端点）上一动点, 设点 坐标为， ， ， ，解得： ， 故的取值范围为 【点睛】本题主要考查了向量的综合问

13、题以及圆的基本性质，解题的关键是建立直角坐标系，表 示出各点坐标，属于中档难度题。 三、解答题三、解答题. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知函数 ，是函数 的零点，且 的最小 值为 . （）求 的值； （）设，若，求的值. 【答案】() () 【解析】 【分析】 ()利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得 ；()根据解析 式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结 果. 【详解】() 的最小值为 ,即 ()由()知： 又 ， 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍

14、角公式、辅助角 公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型. 18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位： ）. （）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？ （）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包山糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检 结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾. 附：，则， . 【答案】 （）0.0013 （）见解析 【解析】 【分析】 （）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位： ） ，要求得正常情况下， 任意抽取一包白糖，质量小于的概

15、率，化为的形式，然后求解即可; （）由（）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率为 0.0013，可求得随 机抽取两包检查，质量都小于的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的。 【详解】解：（）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，由题意可知 。 由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知 . ()检测员的判断是合理的. 因为如果生产线不出现异常的话，由（）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约 为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理 由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的. 【点睛】本题主要考查了正态分布中 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题。

16、19.如图，直三棱柱中， 为的中点. （I）若 为上的一点，且与直线垂直，求的值； （）在（I）的条件下，设异面直线与所成的角为 45，求直线与平面成角的正 弦值. 【答案】 （）见证明；（） 【解析】 【分析】 （）取中点,连接，证明 ，即可说明，由底面为正方形，可求 得; （）以为坐标原点，分别以为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点 的坐标，以及平面的法向量为 ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解。 【详解】 （）证明：取中点,连接,有, 因为，所以, 又因为三棱柱为直三棱柱， 所以, 又因为, 所以， 又因为 所以 又因为,平面,平面, 所以，又因为平面, 所以, 因为， 所以, 连接,设，因为为正方形， 所以,又因为 所以, 又因为 为的中点， 所以 为的中点, 所以. （） 如图以为坐标原点，分别以为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设,由（）可知， 所以， 所以, 所以,