甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试数学（文）试题（解析版）

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1、20192019 年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）年甘肃省高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1.复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案 【详解】 （1+i）（2i）=2i+2ii2=3+i 故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 2.设集合，1，2，3，2，3，则（ ） A. ，B. ，C. ，1

2、，D. ，2， 【答案】C 【解析】 【分析】 先得到，再计算，得到答案 【详解】集合，1，2，3，2，3， 则， ，1， 故选： 【点睛】本题考查集合的交集运算与补集运算，属于简单题. 3.已知平面向量 ， 的夹角为，则（ ） A. 3B. 2C. 0D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由， ， 的夹角为，先得到的值，再计算，得到结果. 【详解】向量 ， 的夹角为， ， 则， 故选： 【点睛】本题考查向量数量积的基本运算，属于简单题. 4.已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是，最大值是 1 B. 的最小正周期是 ，最大值是 C. 的最小正周期是，最大值是 D. 的最小正周期是 ，最大值

3、是 1 【答案】B 【解析】 【分析】 对进行化简，得到解析式，再求出其最小正周期和最大值. 【详解】函数， 故函数的周期为， 当， 即：时， 函数取最大值为 故选： 【点睛】本题考查二倍角正弦的逆用，三角函数求周期和最值，属于简单题. 5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ） A. 55B. 45C. 66D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】 根据程度框图的要求，按输入值进行循环，根据判断语句，计算循环停止时的 值，得到答案. 【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值 由于 故选： 【点睛】本题考查根据流程框图求输入值，属于简单题. 6.若

4、，则函数的两个零点分别位于区间（ ） A. 和内B. 和内 C. 和内D. 和内 【答案】A 【解析】 试题分析：，所以有零点，排除 B，D 选项.当 时，恒成立，没有零点，排除 C，故选 A.另外，也可知内 有零点. 考点：零点与二分法. 【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有 ，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是 方程的根.注意以下几点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有 零点.由函数在闭区间上有零点不一定能推出，如图所示.所以 是在闭区间上有零点的充分不必要条件. 7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. C. D. 【

5、答案】C 【解析】 【分析】 求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果. 【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点 到直线的距离公式得.故选 C. 【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公 式，属于基础题. 8.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】对于 A,B 两个选项，不符合图像，排除 A,B 选项.对于 C 选项， ，不符合图像，排除 C 选项，故选 D. 【点睛

6、】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基 础题. 9.在中，则的面积为（ ） A. 15B. C. 40D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用余弦定理求得 ，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积. 【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得 ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 10.法国机械学家莱洛 发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别 以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭 曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是（ ）

7、A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先算出封闭曲线的面积，在算出正三角形的面积，由几何概型的计算公式得到答案. 【详解】设正三角形的边长为 ，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为 ， 由几何概型中的面积型可得： 此点取自正三角形之内（如图阴影部分） 概率是， 故选： 【点睛】本题考查几何概型求概率，属于简单题. 11.四棱锥的顶点均在一个半径为 3 的球面上，若正方形的边长为 4，则四棱锥 的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设正方形的中心为，当 在于球心 的连线上时，四棱锥高最高，体积取得最大值，利 用勾股定理计算出高，然后求得四棱

8、锥的最大体积. 【详解】设正方形的中心为，当 在于球心 的连线上时，四棱锥高最高，由于底面 面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为 ，球的半径 为 ，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选 D. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关问题，考查四棱锥体积的计算，所以基础题. 12.直线 过抛物线的焦点，且交抛物线于 ， 两点，交其准线于 点，已知， ，则（ ） A. 2B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 过分别做准线的垂线交准线于两点，设 ，根据抛物线的性质可知， ，根据平行线段比例可知，即，解得 ，又， 即 ，解得，故选 C. 【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知

9、曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义， 点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距 离弦长以及相关的最值等问题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.若实数 ， 满足约束条件，则的最大值是_ 【答案】8 【解析】 【分析】 画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为 . 【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题. 14.在正方体中，

10、 ， 分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值 为_ 【答案】 【解析】 【分析】 取的中点 ，连接，找到异面直线与所成角，再求出其余弦值 【详解】取的中点 ，连接， 因为， 所以（或其补角）为异面直线与所成角， 易得：， 即， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查两条异面直线所成的角，属于简单题. 15.已知 ， 均为锐角，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求得的值，然后求得的值，进而求得的值. 【详解】由于 为锐角，且，故，.由 ，解得，由于 为锐角，故 . 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题. 16.已知函数，且，则_ 【答案】16 【解

11、析】 【分析】 由，分和进行讨论，得到 的值，再求的值 【详解】函数，且 当时， ，解得，不成立， 当时， ，解得 故答案为：16 【点睛】本题考查由函数的值求自变量的值，属于简单题. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知等差数列满足，. （）求的通项公式； （）设是等比数列的前 项和，若，求 【答案】(I)；()，或 【解析】 【分析】 （I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。 （）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得. 【详解】(I)设等差数列的公差为 ， 解

12、得， ()设等比数列的公比为 ，联立解得， ， ，或 【点睛】本题考查数列的基本公式。等差数列的通项公式 , 等比数列的前 n 项和 公式 . 18.为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为 120 的样本，测量树苗高度 （单位：，经统计，其高度均在区间，内，将其按， ，分成 6 组，制成如图所示的频率分布直 方图其中高度为及以上的树苗为优质树苗 （1）求图中 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）已知所抽取的这 120 棵树苗来自于 ， 两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计

13、将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质树苗与 ， 两个试验区有关系，并说明 理由 下面的临界值表仅供参考： 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （参考公式：，其中 【答案】 （1），；（2）列联表见解析，没有. 【解析】 【分析】 （1）通过直方图中频率之和为 1，解出 ，再计算树苗的平均高度. （2）根据题意补充好列联表，然后把相应的数据代入求的公式，求出，再做出判断. 【详解】 （1）由频率分布直方图知，解得， 计算， 估计这批树苗的平均高度为； （2）优质树苗有，根据题意填写列联

14、表， 试验区试验区合计 优质树苗 102030 非优质树苗 603090 合计 7050120 计算观测值， 没有的把握认为优质树苗与 ， 两个试验区有关系 【点睛】本题考查频率分布直方图的相关性质，填写列联表，计算和利用进行相关判断.属于 简单题. 19.如图，四棱锥中，底面， 点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）取的中点 ，连结，通过条件证明，得到，从而证明 平面. （2）由（1）知平面，所以点到平面的距离等于 点到平面的距离，取中点 ，连结，则易证，从而得到点到平面的距离. 【详解】证明：（1）取的

15、中点 ，连结， 是棱的中点，且， ， ， 四边形是平行四边形， 平面，平面， 平面 （2）取中点 ，连结， ， 在中，由余弦定理得 ， ， 又底面，面， ，平面 平面 由（1）知平面，点到平面的距离等于 点到平面的距离， 点到平面的距离为 【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过线面平行将点到平面的距离进行转化，属于 中档题. 20.已知椭圆 ：的离心率为，且经过点 （）求椭圆 的方程； （）与 轴不垂直的直线 经过，且与椭圆 交于 ， 两点，若坐标原点 在以为直径 的圆内，求直线 斜率的取值范围 【答案】 （）（） 【解析】 【分析】 （I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方

16、程组，解方程组求得的值， 进而求得椭圆方程.（II）设直线 的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理， 由坐标原点 在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得 的取 值范围. 【详解】解：（）由题意可得，解得， 椭圆 的方程为 （）设直线 的方程为，代入椭圆方程整理可得得 ， ，解得或， 设， 又， ， 坐标原点 在以为直径的圆内， ， ， 解得或. 故直线 斜率的取值范围为. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题. 21.已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数 的取值范围 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程； （2）令，证明其