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1、复习 向量的运算与关系,加法:,一、向量的直观运算,三角形法则:,平行四边形法则:,减法:,三角形法则:,平行四边形法则:,数乘:,数量积:,物理意义: 力 位移 功,向量积:,长度的几何意义: 向量积的长度等于以a,b为邻边的平行四边形的面积或以a,b为邻边的三角形面积的2倍。,物理意义:,力力臂力矩；,混合积:,为棱作平行六面体的体积。,几何意义:,（底面积高）,二、 向量的坐标运算,设,加减:,数乘:,点积:,叉积:,混合积:,三、向量关系:,共线,第四节,一、平面方程,二、两平面的夹角,平面与直线方程（上）,第八章,点法式方程,截距式方程,一般方程,一、平面的点法式方程,设一平面通过已
2、知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,此平面的三点式方程也可写成,一般情况 :,过三点,的平面方程为,说明:,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析: 利用三点式,按第一行展开得,即,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,特殊情形, 当 D = 0
3、时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D = 0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xOy 面 的平面;,平行于 yOz 面 的平面；,平行于 zOx 面 的平面.,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所
4、求平面方程,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,因此有,例3. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,外一点,求,例4 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),例6.,解: 设球心为,求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,故,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,第六节,作业 P301 1-6,备用题,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,
