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1、北京市北大附中2017-2018年高二期末考试 数学(理) 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1设aR，则“a1”是“a21”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2、2从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A. 至少有1个黑球与都是黑球 B. 至少有1个黑球与至少有1个红球C. 恰有1个黑球与恰有2个黑球 D. 至少有1个黑球与都是红球3某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程各至少选1门,则不同的选法共有（ ）A. 30种 B. 31种 C. 35种 D. 60种4已知命题p:xR,使sinx=52;命题q:xR,都有x2+x+10.给出下列结论: （ ）A. 命题p是真命题 B. 命题“pq”是真命题C. 命题“pq”是真命题 D. 命题“pq”是假命题5在二项式(x2-2x)
3、6的展开式中,含x6的项的系数是（ ）A. -15 B. 15 C. -60 D. 606将五枚硬币同时抛掷在桌面上,至少出现两次正面朝上的概率是（ ）A. 516 B. 1316 C. 2132 D. 27327(1-2x)5(2+x)的展开式中x3的项的系数是（ ）A. 100 B. -100 C. 120 D. -12082位男生和3位女生共5位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是（ ）A. 72 B. 60 C. 36 D. 249若(3x3+1x)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 710在-1,1上随机的
4、取一个实数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为（ ）A. 12 B. 14 C. 34 D. 91611若(1-13x)2018=a0+a1x+a2x2+a2018x2018(xR),则3a1+32a2+33a3+32018a2018的值为（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. -212有下列命题: （ ）面积相等的三角形是全等三角形;“若xy=0,则|x|+|y|=0”的逆命题;“若ab,则a+cb+c”的否命题;“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为A. B. C. D. 13在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各3个,它们大小相同,现在从
5、盒中任意摸出3个小球,每个小球被摸出的可能性都相等,则摸出的三个小球颜色都互不相同,这样的摸法种数为（ ）A. 36 B. 108 C. 216 D. 64814一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的两个数字之积是0的概率为（ ）A. 14 B. 12 C. 23 D. 34第II卷（非选择题）二、填空题15命题“xR,x2-x+140”的否定是_.16在(3x-2x)n的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_.17从0,1,2,3,4,5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,其中能被5整除的
6、概率为_（用数字作答）.18有6名学生做志愿者服务,将他们分配到图书馆、科技馆、养老院和火车站这四个地方去服务,每一个地方至少有一人,则不同的分配方案有_种（用数字作答）.19已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束,则恰好检测四次停止的概率为_（用数字作答）.20对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,in)（n是不小于3的正整数）,对于任意的p,q1,2,3,n,当piq,则称ip,iq是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组(3,1,4,2)中
7、的逆序数为_;若数组(i1,i2,i3,in)中的逆序数为n-1,则数组(in,in-1,i1)中的逆序数为_.三、解答题21某单位从一所学校招收某类特殊人才,对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人.由于部分数据丢失,只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.（）求a,b的值;（）从参加测试的20位学生中任意抽取2位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率;（III）从参加测试的20位学生中任意抽取2位,设运动协调能力
8、或逻辑思维能力优秀的学生人数为,求随机变量的分布列.22已知,如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,且AEB=90.（）求证:AE平面BCE;（）求二面角E-AC-B的余弦值; （）在线段AC（不包含端点）上是否存在点F,使得EF与平面ABC所成的角为45;若存在,写出AFAC的值,若不存在,说明理由.23某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率为12,且各题回答
9、正确与否相互之间没有影响.若这位挑战者回答这三个问题总分不低于10分就算闯关成功.（）求至少回答对一个问题的概率;（）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列;（）求这位挑战者闯关成功的概率.24已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(1,32),离心率为32.（）求椭圆C的方程;（）直线y=k(x-1)(k0)与椭圆C交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点,直线AM与直线BM分别与y轴交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在一个定点N使得NPNQ?若是,求出定点N的坐标;若不是,说明理由.25已知集合A=1,2,3,2n(nN*).对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得
10、对于S中的任意一对元素s1,s2,都有s1-s2m,则称S具有性质P.（）当n=8时,试判断集合B=xA|x7和C=xA|x=3k-2,kN*是否具有性质P?并说明理由.（）若n=1009时，若集合S具有性质P,那么集合T=2019-x|xS是否一定具有性质P?并说明理由;若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值北京市北大附中2017-2018年高二期末考试 数学(理)答 案1A【解析】由已知aR，则由“a1”可以得到“a21”，但当“a21”时，可得“a1”或“a1”是“a21”的充分非必要条件2C【解析】依题意，从装有2个红球和2个黑球的口袋中任意取2个球A至少有1个黑球包含都是黑球
11、，故至少有1个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A错误，B至少有1个黑球包含1黑1红，至少有1个红球包含1黑1红，两者不是互斥事件，故B错误，C恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故C 正确D至少有1个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故D错误，故答案为C3A【解析】由题意，7门课程选3门有C73种方法，若选择的课程均为A课程，有C33种方法，选择的课程均为B课程，有C43种方法，满足题意的选择方法有：C73-C33-C43=35-1-4=30种.本题选择A选项.4B【解析】521，而sinx-1,1，据此可得命题p是假命题；x2+x+1=x+122+340
12、，则命题q为真命题；据此可得：命题“pq”是真命题，命题“pq”是假命题，命题“pq”是真命题.本题选择B选项.5D【解析】二项式展开式的通项公式：Tr+1=C6rx26-r-2xr=-2rC6rx12-3r，令12-3r=6可得：r=2，则含x6的项的系数是-22C62=415=60.本题选择D选项.6B【解析】由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：125，一次正面朝上的概率为：C51121124，则至少出现两次正面朝上的概率是1-125-C51121124=1316.本题选择B选项.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的
13、和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便7D【解析】1-2x5展开式的通项公式为：C5r-2xr=-2rC5rxr，当r=3时，1-2x5展开项为-23C53=-80，当r=2时，1-2x5展开项为-22C52=40，则(1-2x)5(2+x)的展开式中x3的项的系数是2-80+40=-120.本题选择D选项.点睛：二项展开式的通项Tk+1=Cnkan-kbk是展开式的第k1项，这是解决二项式定理有关问题的基础在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通
14、项公式讨论对k的限制8A【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有C32A22=6种不同排法)，剩下一名女生记作B，将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有C32A22A32A22=72种，本题选择A选项.9D【解析】由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：Tr+1=Cnr3x3n-r1xr=3n-rCnrx3n-72r，展开式中含有常数项，则：3n-72r=0有正整数解，满足题意的最小的正整数为：r=6,n=7.本题选择D选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项10C【解析】直线与圆相交，则：5kk2+13，解得：-34k34，结合长度型几何概型公式可得满足题
