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1、第16卷第1期大 学 物 理Vol . 16 No. 1 1997年 1月COLL EGE PHYSICSJan.1997 平面波、 球面波和柱面波间的表示 奚定平 (深圳大学应用物理系,深圳 518060) 摘 要 讨论了平面波、 球面波和柱面波之间的表示,并给出明确公式和计算实例. 关键词 波;叠加;波动方程 分类号 O411. 1 许多教材介绍了平面波用球面波(球函数) 展开1, 2,这种方法在散射理论中经常被用到. 在球坐标(r,)中,波矢为k的平面波可展成 球函数的级数 ei kr= 6 l= 0 i l (2 l + 1) jl(kr)Pl(cos) = 46 l= 0 i lj
2、l(kr) 6 l m= -lY 3 lm( , ) Ylm(,) 其 中, 是r(,)和k( , )间 的 夹 角, cos= coscos + sinsin cos(- ). j l(kr)是 球 贝 塞 尔 函 数, Pl(x)是 勒 让 德 多 项 式, Ylm(,)是球函数. 本文讨论平面波、 球面波和柱面波间的其 它表示.三维空间波动方程 utt-a 2 2 u= 0, -x,y,z (1) 在直角坐标中,平面波通式可写成3, 4 up(x,y,z,t )= f(at-x-y-z)(2) 其中,f(s)是任意函数, 、 、 是任意实数,代 表平面波传播方向n的方向余弦,并有 2+
3、2 + 2= 1. 在球坐标中,球面波的表达式为5, 6 us(r,t )= 1 r f1(at-r )+ f2(at+r ) (3) 其中,r2=x 2+ y 2+ z 2. 在标坐标中,柱面波满足的方程由式(1)改 写为 92u 9t2 =a2 92u 9 2+ 1 9u 9 , 2= x 2+ y 2 (4) 式(4)给出的柱面波的特解为 uc(k,t )= A(k)e - itJ 0(k) +B(k)e- i tH(1) 0(k)(5) 其中 ,J 0(x)和H (1) 0(x)分别是零阶贝塞尔函数 和第一类汉克尔函数,k=?a.式(5)给出的柱 面波实际是驻波,其第二项在 0时发散.
4、 图1 1 柱面波用平面波叠加表示 用一组传播方向垂直于z轴的平面波,可 叠加成柱面波.如图1所示,平面波表示为 u(x,y,t )= f(at-x-y) (6) =fat-cos(- ) (7) 在式(7)中,已设 = cos,= sin,x=cos,y 收稿日期: 1996- 01- 03,修回日期: 1996- 05- 02 =sin.柱面波则是利用不同方向角 的平面 波叠加而成. uc(,t )= 0 fat-cos(- ) d (8) 令at-cos(- )= ,则有 = 2- (at-) 2 sin ( -) , d= -dcos(-) (9) 将上式代入式(8)计算,积分限由0
5、变换到 由at-到at+,于是有 uc(,t) 0 fat- cos( - ) d = at+ at- f( )d 2- (at-) 2 (10) 例 若取平面波为 f(at-x-y )= e - i a (at-xcos-ysin), 求叠加的柱面波.由式(10)有 uc(,t )= at+ at- ei ad 2- (at-) 2 = e- i t - e- i a 2- 2d = 2e- i (1+ ) 0 cosks 1-s2 ds = 2 J 0(k)e - it (11) 其中,最后一步利用了公式7 J0(z )= 1 i (1+ ) 0 cosz t t2- 1d t(12) 适
6、当改变积分路径也可得到用汉克尔函数表示 的柱面波. 2 柱面波用球面波叠加表示 用出射球面波叠加出柱面波,如图2所示. 对不同z值的球面波叠加 uc1= - f1(at-r) r dz = 2 0 f1(at- 2+ z 2) 2+ z 2 dz(13) 令 at- 2+ z 2= 则有 2+ z 2= at-,和 dz= - (at- )d (at- 2 )- 2 将上述关系代入式(13),积分限变换到 由- 到at-,有 uc1(,t )= 2 at- - f1( )d (at-) 2- 2 (14) 若用式(3)中向心汇聚球面波叠加,则得到柱面 波为 uc2(p,t )= 2 at+ f
7、2( )d (at-) 2- 2 (15) 图2 3 球面波用平面波叠加表示 如图3所示,传输方向用n表示的平面波是 图3 up(r,t )= f(at-x-y-z) =f(at-rn) =f(at-rcos)(下转2页) 4大 学 物 理 第16卷 与电子射相结合.因显微像形成于物镜的物平 面,衍射花样形成于后焦面,故二者互成傅里叶 变换关系.像的分辨率受显微镜分辨本领所限, 而衍射分辨率则不受此限制.所以衍射花样的 信息量比显微像多.但前者只能记录下波振幅, 失去了相位.后者信息量虽较少,但其信息中却 同时含有振幅与相位.于是二者的信息是互补 的.高分辨电子显微学与电子衍射相结合的图 像处
8、理方法利用了衍射花样与显微像之间的内 在联系,及二者信息的互补关系,取得了很好的 效果. 参考文献 1 L i F H.Two-stage image processing in high resolution electron m icroscopy and electron diffraction, Proc.13th Intern Conference on Electron M icroscopy, Paris, 1990, 1: 481. I MAGE PROCESSING BY COM BINING HIGH RESOLUTI ON ELECTRON M ICROSCOPY AND
9、 ELECTRON D IFFRACTI ON L i Fanghua (Institute of Physics, Chinese A cademy of Sciences, Beijing, 100080, China) Abstract A n image processing technique to determ ine crystal structures is introduced.It is based on the combination of high resolution electron m icroscopy and electron diffraction.The
10、schematical diagram of the method is demonstrated. Key words crystal structure; electron diffraction; high resolution electron m icroscopy (上接4页) 其中,是r与n间的夹角.若假设平面波波面 与球面波波面相交的圆周周长为s,即s= 2rsin,于是,用平面波叠加表示的球面波可 写成 us(r,t )= 0 up(r,t)sd r = 2 0 f(at-rcos)sind = 2 r 5(at+r )- 5(at-r ) (17) 其中,5(x)是f(x)
11、的不定积分函数,即 5(x) =f(x)dx+C. 4 参考文献 1 曾谨言.量子力学:下册.北京:科学出版社, 1989 2 刘式适,刘式达.特殊函数.北京:气象出版社, 1988 3 奚定平.数学物理方程.广州:华南理工大学出版社, 1993 4 梁昆淼.数学物理方法.北京:人民教育出版社, 1960 5 杰克逊J D.经典力学.朱培豫译.北京:高等教育出版社, 1983 6 奚定平.杰克逊J D 经典力学解题指导.深圳大学学报 (增刊), 1988 7 王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论.北京:科学出版社, 1965. 481( 第36题中令 = 0. ) REPRESENTATI ONS B
12、ET W EEN PLANAR, SPHERICAL, AND CYL INDRICAL WAVES XiD ingping (Applied PhysicsDepartment, Shenzhen U niversity, Shenzhen, 518060,China) Abstract Representations between the planar, spherical, and cylindricalwaves are descript2 ed, and the explicit equations and example are also presented. Key words waves; superposition; wave equation 2大 学 物 理 第16卷
