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1、,1. 格林公式,2 格林公式及其应用,* 高斯定理（体积分化成曲面积分）:设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域（可以是多连通区域）， 在 上具有连续偏导数的任意函数，则成立,注：广义牛顿莱布尼茨公式可推导出一维牛顿莱布尼茨公式。,高斯公式,推论1（广义牛顿莱布尼茨公式）:,推论2（高维分部积分公式）：,*格林第一公式,互换 位置，可得,*格林第二公式,上面两式相减，可得格林第二公式,下面我们利用格林第二公式推导调和函数的一些基本性质。,考察函数,*调和函数的积分表达式,其中 表示 中以 为球心，以 为半径的 小球，边界记 。,则,利用格林公式，,因此,利用积分中值定理，其中 是函数 在球
2、面 上的平均值。,类似地，有,球面平均值。,因此,在上式中令 ，就得到泊松方程解的基本积分公式,其中,特别序员 时，调和函数一般积分公式,联系引力位势,定理 2.1 设函数 在以曲面 为边界的区域 内调和，在 上有连续一阶偏导数，则,注 诺伊曼内问题 有解的必要条件是,注 有解的必要条件是,注 二维拉普拉斯方程的基本解为,相应的调和函数积分公式为,联系赫尔德条件,2.平均值定理,定理2.2（平均值公式）设函数 在某区域 内调和， 是 中的任一点。则对以 为球心、 为半径完全落在区域的内部的球面 ，成立,由定理2.1知,于是,注 如果 ，则定理可包含与边界相切的球面。,另一方面，,*数学角度证明
3、,3.极值原理,*物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在内部不可能有最高点或最低点。,以 为球心、任意半径 作球 ，使它完全落在区域,中。记 的球面为 ，在 上必成立 。事实,函数的连续性，必可找到此点在球面 上的一个邻域，,上，如果 在球面上 上某一点其值小于 ，则由,在此邻域中 。因此 在 上的积分平均值,传递性,从而在整个球 上,现在证明对 中的所有点都恒等于常数,由 的任意性，就得到在整个区域上,4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性,即,由定理2.3的推论1知,因此,在 上各点有,即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。,4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性,则 满足,如果 ，则存在一点 ，使得 。,不妨设 。以 表示半径为 的球面，当,P83:2.3.4.5.,
