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1、专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值 例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0 （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1x2若2x1=x2+1，求m的值 例3已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m0） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1x2），若n=x2-x1-12m，且点
2、B（m，n）在x轴上，求m的值 . 例4. 已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根 （1）求m的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值 例5. 已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0 （1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由 （3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求ABC的周长 训练1.已知关于x的方程mx2-（m
3、+2）x+2=0（m0） （1）求证：方程总有两个实数根； （2）已知方程有两个不相等的实数根，满足1+1=1，求m的值 2.已知一元二次方程x2-2x+m=0 （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值 （3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值 3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0 （1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根； （2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由 4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-
4、k2=0（k为常数） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值 5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2 （1）求k的取值范围； （2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值 6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+12m-3=0 （1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值 7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=
5、0的一个根为x=3 （1）求a的值及方程的另一个根； （2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长 8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？ 专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：（1）方程有两个不相等的实数根， =b2-4ac=-（2m-1）2-4m（m-2）=4m+10， 解得：m-14，二次项系数0，m0， 当m-14且m0时，方程有两个不相等的实数根； （2）x1、x2为方程的两个不等实数根， x1+x2=2m-1m，x1x2=m-2m，
6、 x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2m-1m）2-3(m-2)m=2， 解得：m1=2+1，m2=-2+1（舍去）；m=2+1 例2. 解：（1）=（-4m）2-4（4m2-9）=360， 此方程有两个不相等的实数根； （2）x=4m362=2m3， x1=2m-3，x2=2m+3， 2x1=x2+1，2（2m-3）=2m+3+1， m=5 例3. 解：（1）=（4-3m）2-4m（2m-8）， =m2+8m+16=（m+4）2 又m0（m+4）20即0 方程有两个不相等的实数根； （2）方程的两个根分别为x1、x2（x1x2）， x1+x2=-4-3mm，x1x2=
7、2m-8m， n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上， x2-x1-12m=(x1+x2)2-4x2x1-12m=(4-3mm)2-42m-8m-12m=0， 解得：m=-2，m=4， m0，m=4 例4. .解：（1）方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根， =-2（m+1）2-4（m2+5）=8m-160，解得：m2 （2）原方程的两个实数根为x1、x2， x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5 m2， x1+x2=2（m+1）0，x1x2=m2+50， x10、x20 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=|x1|+|x2|+2x1x2， 4（
8、m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0， 解得：m=3 例5. 证明：（1）=（2k+1）2-16（k-12）=（2k-3）20， 方程总有实根； 解：（2）两实数根互为相反数， x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5； （3）当b=c时，则=0， 即（2k-3）2=0，k=32， 方程可化为x2-4x+4=0，x1=x2=2，而b=c=2，b+c=4=a不适合题意舍去； 当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-12）=0， k=52， 方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2， c=2， CABC=10， 当c=a=4时，同理得b=2，
9、CABC=10， 综上所述，ABC的周长为10 训练1.（1）证明：方程mx2-（m+2）x+2=0（m0）是一元二次方程， =（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）20， 方程总有两个实数根； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系可得+=m+2m，=2m， 1+1=1， m+2m2m=m+22=1， 解得m=0， m0， m无解 2.解：（1）方程x2-2x+m=0有两个实数根， =（-2）2-4m0， 解得m1； （2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1x2=m， 解方程组x1+x2=2x1+3x2=3， 解得x1=32x2=12， m=x
10、1x2=3212=34； （3）x12-x22=0， （x1+x2）（x1-x2）=0，x1+x2=20，x1-x2=0， 方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根， =（-2）2-4m=0， 解得m=1 3. （1）证明：关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）20， 无论m为何值方程都有两个实数根； （2）解：设方程的两个实数根为x1、x2， 则x1+x2=-（m-3），x1x2=-m（2m-3）， 令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26， 整理，得5m2-12m-17=
11、0， 解这个方程得，m=175或m=-1， 所以存在正数m=175，使得方程的两个实数根的平方和等于264. （1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，=（-6）2-41（-k2）=4k2+3636， 方程有两个不相等的实数根 （2）解：x1、x2为方程的两个实数根， x1+x2=6，x1x2=-k2， 2x1+x2=14， 联立成方程组x1+x2=62x1+x2=14， 解之得：x1=8x2=-2， x1x2=-k2=-16， k=4 5. 解：（1）原方程有两个不相等的实数根， =-（2k-3）2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+50， 解得：k512； （2）k
12、512， x1+x2=2k-30， 又x1x2=k2+10， x10，x20， |x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3， |x1|+|x2|=2|x1x2|-3， -2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0， k1=1，k2=-2， 又k512， k=-2 6. 解：（1）=（m-2）2-4（12m-3）=（m-3）2+30， 无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x1+x2=m-2， 2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1， x1=m+1+2-m=3， 把x1代入方程有： 9-3（m-2）+12m-3=0 解得m=245 7. 解：（
13、1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0， 解得：a=2， 原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0， 解得：x1=2，x2=3 a的值为2，方程的另一个根为x=2 （2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3， C=2+2+3=7或C=3+3+2=8 三角形的周长为8或7 8. .解：=（2a）2-4（a2+4a-2）0，a12 又x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2 x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4 设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质 a12 当a=12时，x12+x22的值最小 此时x12+x22=2(12-2)2-4=12，即最小值为12
