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1、数字信号处理,1,绪论 第1章 离散时间信号和系统的时域分析 第2章 离散时间信号和系统的频域、复频域分析 第3章 离散傅里叶变换 第4章 快速傅里叶变换 第5章 数字滤波器的结构 第6章 无限长脉冲响应数字滤波器设计 第7章 有限长脉冲响应数字滤波器设计 第8章 有限字长效应,第4章 快速傅里叶变换,第4章 快速傅里叶变换,3,4.1 引言 4.2 基2-FFT算法 4.3 其他快速算法 4.4 线性调频z变换*,4.1 引言,4,4.1 引言,5,4.1 引言,6,4.1 引言,7,4.1 引言,8,4.1 引言,9,4.2 基2-FFT算法,10,4.2 基2-FFT算法,11,4.2
2、基2-FFT算法,12,这一条件保证了序列可连续分奇偶。,(2)推导：,1) 先将序列,按n分奇偶：,4.2 基2-FFT算法,13,n为偶数 n为奇数,4.2 基2-FFT算法,14,(4-4),4.2 基2-FFT算法,15,其中,4.2 基2-FFT算法,16,利用,的周期性：,可得：,同理可得：,4.2 基2-FFT算法,17,因此： X(k)的前半部分(k = 0, 1, ,(N/2)1),k = 0, 1, ,(N/2)1,利用 的可约性：,X(k)的后半部分(k = N/2, ,N1),18,4.2 基2-FFT算法,k = 0, 1, ,(N/2)1,得到,式(45) 可用蝶形
3、运算流图表示,每一个蝶形运算需要1次复乘及两次复加(减)法。,19,4.2 基2-FFT算法,20,4.2 基2-FFT算法,当N8为例，,21,4.2 基2-FFT算法,22,4.2 基2-FFT算法,当N8为例，,3)将序列,与,继续分奇偶,首先按奇、偶分解序列,23,4.2 基2-FFT算法,(4-7),24,4.2 基2-FFT算法,式中,(4-7),25,4.2 基2-FFT算法,26,4.2 基2-FFT算法,27,4.2 基2-FFT算法,28,按照这样分解的顺序，利用图42、43、44 可画出图46、 47 。,4.2 基2-FFT算法,4.2 基2-FFT算法,29,30,4
4、.2 基2-FFT算法,31,4.2 基2-FFT算法,32,4.2 基2-FFT算法,33,4.2 基2-FFT算法,34,4.2 基2-FFT算法,35,4.2 基2-FFT算法,（1）设置变量及其维数, 基-2 N2L ，又 N8，L3 其中r2=r1=r0=2 此时设置6个变量： 0n2r2-1，0n1r1-1，0n0r0-1 0k2r2-1，0k1r1-1，0k0r0-1 即：,Nr2r1r0,0n21，0n11，0n01,0k21，0k11，0k01,36,4.2 基2-FFT算法,37,4.2 基2-FFT算法,（2）列写三维n、k的表达式,(输入x(n) 倒位序，输出X(k)
5、自然顺序),（3）列写的表达式，对n分解，并分别化简,注意：求和总是从最高位开始，并且由于是DIT-FFT算法，因而化简是对ni作展开的。,38,4.2 基2-FFT算法,39,4.2 基2-FFT算法,40,4.2 基2-FFT算法,由数学运算表达式可以准确地画出对应流图，这种方法用于混合基算法的推导更为有效。,41,4.2 基2-FFT算法,44,4.2 基2-FFT算法,45,4.2 基2-FFT算法,4.2 基2-FFT算法,46,47,4.2 基2-FFT算法,48,4.2 基2-FFT算法,49,4.2 基2-FFT算法,50,4.2 基2-FFT算法,51,4.2 基2-FFT算
6、法,先将序列,按n顺序分成前后两半， 将DFT表达式变为：,(k = 0,1, 2, N-1),52,4.2 基2-FFT算法,当k为偶数,则：,53,当k为偶数时，(-1)k1，当k为奇数时，(-1)k1， 为此,按k的奇偶可将X(k)分为两部分频率抽选,4.2 基2-FFT算法,54,4.2 基2-FFT算法,55,当k为奇数,4.2 基2-FFT算法,56,4.2 基2-FFT算法,57,4.2 基2-FFT算法,58,4.2 基2-FFT算法,59,4.2 基2-FFT算法,60,4.2 基2-FFT算法,61,4.2 基2-FFT算法,（1）设置变量及其维数, 基-2 N2L ，又
7、N8，L3 其中r2=r1=r0=2 此时设置6个变量： 0n2r2-1，0n1r1-1，0n0r0-1 0k2r2-1，0k1r1-1，0k0r0-1 即：,Nr2r1r0,0n21，0n11，0n01,0k21，0k11，0k01,62,4.2 基2-FFT算法,（2）列写三维n、k的表达式,(输入x(n) 自然顺序，输出X(k) 倒位序),63,（3）列写的表达式，对k分解，并分别化简,注意：求和总是从最高位开始，并且由于是DIF-FFT算法，因而化简是对ki作展开的。,4.2 基2-FFT算法,64,4.2 基2-FFT算法,65,4.2 基2-FFT算法,66,4.2 基2-FFT算
8、法,67,4.2 基2-FFT算法,68,4.2 基2-FFT算法,IDFT公式,DFT公式,两者区别仅为系数差一个负号，及常数差1/N倍。因此只需稍稍修改程序即可实现反变换。,69,4.2 基2-FFT算法,70,4.2 基2-FFT算法,利用共轭性质：,71,4.2 基2-FFT算法,72,4.2 基2-FFT算法,73,4.2 基2-FFT算法,74,4.3 其他快速算法,75,4.3 其他快速算法,76,4.3 其他快速算法,77,4.3 其他快速算法,78,4.3 其他快速算法,79,分解过程为： 首先将x(n) 分成2(即r2)个子序列，每个子序列有6(即r0r1)个数据，再把子序
9、列分成2(即r1)个序列，每个子序列有3(即r0)个数据。,4.3 其他快速算法,此时设置,6个变量,0n2r2-1，0n1r1-1，0n0r0-1,：,0k2r2-1，0k1r1-1，0k0r0-1,即：,0n21，0n11，0n02,0k21，0k11，0k02,80,（1）设置变量及其维数 Nr0r1r2=322=12,4.3 其他快速算法,（2）列写三维n、k的表达式,(输入x(n) 广义倒位序，输出X(k) 广义自然顺序),(k)10 =(r0r1)k2+r0k1+k0=6k2+3k1+k0,（3） 列写的表达式，对n分解，并分别化简,注意：求和总是从最高位开始，并且由于是DIT-F
10、FT算法，因而化简是对ni作展开的。,81,4.3 其他快速算法,82,4.3 其他快速算法,83,注意：流图中第1级蝶形运算系数未标出，第2、3级蝶形运算中的系数“1”未标出。,84,注意：流图中第1级蝶形运算系数未标出，第2、3级蝶形运算中的系数“1”未标出。,85,4.3 其他快速算法,n=11，k=2，,n=5，k=5，,86,4.3 其他快速算法,设 Nr0r1r2=322， L级蝶形运算，L3。,1）r点DFT：r2次复乘；,第1级r1r2个r0点DFT：(r1r2)r02 次复乘；,第2级r0r2个r1点DFT：(r0r2)r12 次复乘；,第3级r0r1个r2点DFT：(r0r
11、1)r22 次复乘；,2）级间旋转因子为N个：N次复乘；,L3，级间旋转因子为N(L-1)个：N(L-1)次复乘；,复乘计算量总计：,mF=(r1r2)r02+(r0r2)r12+(r0r1)r22+N(L-1),87,4.3 其他快速算法,故一般情况Nr0r1r2rL-1，L级蝶形运算,N12=r0r1r2=322， L3。,mF= 108,实际上，2点DFT不需要复乘，3点DFT中只有4次复乘，级间旋转因子只有8个用乘法。,mF= 24 144,88,4.3 其他快速算法,89,4.3 其他快速算法,90,4.3 其他快速算法,(1)设置变量及其维数 N= r1r0=42=16, N=42
12、=16 L=2,设置4个变量：,0n1 r11 ，0n0 r01 ，0k1 r11 ，0k0 r01,91,4.3 其他快速算法,0n13，0n03，0k13，0k03,即,注意：求和总是从最高位开始，并且由于是DIT-FFT算法，因而化简是对ni作展开的。,92,(2)列写三维n、k的表达式,(输入x(n) 自然顺序，输出X(k) 倒位序),(3) 列写的表达式，对分n解，并分别化简,4.3 其他快速算法,93,4.3 其他快速算法,94,4.3 其他快速算法,复乘8次,95,4.3 其他快速算法,复乘8次,注意：流图中各级蝶形运算中的系数“1”未标出。,96,复乘10次,4.3 其他快速算
13、法,97,4.3 其他快速算法,98,4.3 其他快速算法,99,4.3 其他快速算法,(4-72),100,4.3 其他快速算法,101,4.3 其他快速算法,102,4.3 其他快速算法,103,4.3 其他快速算法,104,4.3 其他快速算法,105,4.3 其他快速算法,106,4.3 其他快速算法,107,4.4 线性调频z变换*,108,4.4 线性调频z变换*,109,4.4 线性调频z变换*,110,4.4 线性调频z变换*,111,4.4 线性调频z变换*,112,4.4 线性调频z变换*,113,4.4 线性调频z变换*,114,4.4 线性调频z变换*,令,则,设有限长序列x(n)的点数为N，分析点数为M，,则,0 kM-1,115,令,4.4 线性调频z变换*,116,4.4 线性调频z变换*,117,4.4 线性调频z变换*,118,4.4 线性调频z变换*,119,4.4 线性调频z变换*,本章总结,基-2FFT算法原理 其他快速算法 线性调频z变换*,120,
