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1、即输入x(n)，输出为X(k)，分别讨论DFT与FFT运算及系,8.5 DFT与FFT的有限字长影响,DFT与FFT在数字滤波器、频谱分析中应用广泛，了解,DFT有限字长影响很重要，不过要精确分析是很困难的，,只对选择所需要寄存器长度的简化分析就足以。分析时,为方便要做许多假设，也采用输入、输出方式进行分析，,数量化误差的影响。,8.5.1、DFT直接定点舍入计算误差分析,DFT定义为,的作用相当于单位脉冲响应，,的运算流图如图所示。,无限精度下第k个X(k)值,X(k),的分析类似，将每次舍入误差等效为一个噪声源，此时,第k个X(k)值的等效,统计模型如图所示。,上图 X(k) 是无限精度下
2、第 k个 X (k) 值的运算结果，,k个X (k) 值运算结果的误差。由图8.5-2可见，各误差,直接加至输出端，因此总的误差输出为,有限精度运算下的输出为,(8.5-2),(8.5-3),法是由四次实数乘法实现的，因此一次复数乘法会产,生四次误差，即,(8.5-4),为了简化计算对输出噪声F (k) 方差的计算，对i(n,k),(1)所有误差i(n,k)是平稳的零均值白噪声序列；在,(i=14) 的统计特性作如下假设：,(2)各i (n,k)噪声源彼此不相关；且某一次复乘的四个,误差源与其他复乘的噪声源互不相关；,(3)各误差i(n,k)与输入 x(n)不相关，从而与输出 X (k),也不
3、相关。,复乘误差的模平方为,(8.5-5),由于各i(n,k)噪声源彼此不相关，则, (n,k) =1(n,k)+ 2(n,k)2+3(n,k) 4(n,k)2,由得到输出噪声F(k)方差(噪声功率)为,(8.5-6),与FIR系统直接型相同，输出噪声的方差正比于N。,由于定点运算受到动态范围的限制，要防止X(k)溢出，,因此要求,(8.5-7),再由上式可得出输出不溢出的充分条件为,即输入只要乘以1/N因子，就可保证 X (k) 不溢出。,=Nxmax1,假设输入 x(n) 是在1/N 1/N之间均匀分布的白色随机,(8.5-9),信号，输入信号的方差为,输出信号的方差为,(8.5-10),
4、输出噪信比为,上式表明噪信比与N2 成正比，即N增加一倍时，为了保,持噪信比不变或运算精度不变，字长必须要增加1位。,(8.5-11),= N 2 22b,8.5.2、FFT定点舍入计算误差分析,1、输出噪信比,以基2、时选法为例，分析定点舍入的运算误差，其他,FFT算法的误差分析可作相应修改。,N=2M 点的基2、时选FFT分为M级，每级有N/2各碟形，,表示由m列到m+1列的基本,计模型如图所示,蝶形定点舍入运算的统,图中基本蝶形节点的下标,m+1=M表示输出序列X(k)。,由图可见，每个基本蝶形有一次复数乘法，产生一个误,差源 (m,j)。该误差源与DFT分析中的误差源具有相同,的统计特
5、性，所以一次复数乘法引入误差的方差为,(8.5-12),m=0 表示输入序列x(n)，,传输到输出端时方差不会变化。,因此各误差源 (m,j)通过后级碟形时，即误差从源头,=E| (m,j) |2,定点的加法运算无误差，不影响方差；并且,计算从输入端到输出端所涉及的蝶形数量即可。,图8.5-4 是N=8点的FFT时选流图，图中红粗线条标明,要计算第k个X(k)值运算结果的总输出误差F(k)，只要,了与X(3)计算相关的蝶形。,第(1)级4个蝶形,第(2)级2个蝶形,第(3)级1个蝶形,第一级四个。,由图可见与X(3)有关的蝶形：第三级一个；第二级两个；,F (3) =7 (m, j),1+2+
6、22=7 个,输出噪声源,输出噪声方差,一共有碟形,EF(3) 2 = 7q2 /3 = 722b /3,由此可以类推N=2M点时噪声输出的一般情况，共有M级,1 + 2 + 22 +2M-1 = 2M 1 = N 1 (8.5-13),蝶形，与第k个X(k)有关的蝶形：M(末级)级1个；M1,级(末前级) 2 个；M2级 4 个；，,总共有碟形,总的输出噪声方差,当N很大时,(8.5-14),由图8.5-3的可见蝶形的运算关系为,(8.5-15),由上式可以得到,=|Xm(i)|+ |Xm(j)|,(8.5-16),2max|Xm(i)|, |Xm(j)| ,入的两倍。一个N点FFT有M=l
7、og2N级蝶形，所以FFT,这说明，蝶形结的输出最大值不超过，但有可能为输,的最后输出不超过，但有可能为输入的N=2M倍。即,maxX(k) 2Mmax x(n)=N maxx(n),(8.5-18),若要保证|X(k)|不溢出，即max|X(k)|1 ，要求,|x(n)| 1/N (0nN 1) (8.5-17),假设信号是在1/N1/N之间均匀等概分布的白色随机,信号，其方差为,max|X(k)| N max|x(n)|,FFT输出的方差为,输出噪信比为,(8.5-20),= N 2 22b,(8.5-19),噪信比与N2成正比。说明FFT算法仅提高运算速度，噪,信比与直接算法相同。每增加
8、一级（M加1），噪信比,增加4倍。或为了保持噪信比不变或运算精度不变，N,增加一倍时字长要增加1位。,2、改善噪信比的方法,输出信噪比不高的原因在很大程度上是由于输入幅度限,制的过小所至，这种状况是可以改善的。由前分析可知，,一个蝶形结的输出最大不超过输入的两倍。如果如图,运算不会溢出。,所示，对每个蝶形结都乘以系数1/2，就可以保证蝶形,不同，是把 1 / N 的比例因子分解到每级运算中。,因为共有M=log2N级碟形，所以对全部FFT运算相当设,置了比例因子 (1/2)M=1/N。与前面所讨论的FFT处理,因此在保持输出信号方差不变的情况下，输入幅度增,加了N倍，即,这种处理输出信号方差不
9、变，但输出噪声却小得多。,由图可见，由于多乘,了一个系数，每个,蝶形噪声源由一个,变为两个，且,这样每个蝶形噪声方差为,E| (m,i)|2 E| (m,j)|2,E| (m,i)|2 + E| (m,j)|2,用，其幅度被衰减到1/2，而方差被衰减到1/4。,这个误差每通过后一级蝶形，受1/2比例因子的加权作,注意到噪声源所处的运算级不同，则最后的影响不同。,因此输出噪声的总方差为,E|F (k)|2=,若M 1，则输出方差为,(8.5-22),上式证明，噪声方差一次次的被(1/2)2衰减，使得输出,的方法好。,噪声越来越小的处理方法，比一次性乘以1/N比例因子,输出噪信比：,(8.5-23
10、),=4N 22b,这个结果正比 N 而不是 N 2。,=4N 22b,说明保持噪信比或运算精度不变的情况下，每增加一级,蝶形只要增加二进制的半个数位(字长)；或每增加两级,蝶形只要增加二进制的一个数位(字长)。因此把1/N的,衰减分解到每级蝶形，以改善输出噪信比，应该是,更好的选择。,8.5.3、FFT浮点舍入计算误差分析,与定点情况相同，对不同的FFT算法，相应的有限字长,效应不同。仍以基2、时选N=2M 为例，从一个蝶形运算,产生的误差开始讨论。,图中符号意义与定点运算统计模型相同。,单个蝶形浮点运算统计模型如图所示，,蝶形上端输出为(下端输出的讨论相同),(8.5-24),其中em+1
11、具有实部和虚部即,em+1 = er + j ei,er、ei分别由Xm+1(i)的实部和虚部运算所决定。,浮点运算不论加法、乘法都产生误差，而在这个运算中,有两次乘法、两次加法，均引入舍入误差，均用相对误,差表示，即以1、2表示乘积引入的相对误差，以1、,2表示加法引入的相对误差。,先分析实部误差er (虚部误差ei可以类推)，因为,(8.5-25),各噪声源与运算的关系如图所示。,ReXm+1(i) +er,式中ReXm+1(i)为无限精度实部运算结果，er为有限精度,实部运算结果的误差。,由图8.5-7得到浮点实部运算的输出为,从表达式中略去、 的所有高次项，可得：,为分析简便，作如下假
12、设,(1)、所有误差源与信号x(n)不相关、独立；都是彼此独,立、白色、等概分布，具有相同方差，因此,E|1(n)|2 =E|2(n)|2=E|1(n)|2=E|2(n)|2,(2)、x(n)是白色；实、虚部方差相同；且同一级各节点,方差相同，即,E|ReXm(j)|2= E|ImXm(j)|2,E|Xm(i)|2= E|Xm(j)|2,由此得到实部误差的方差为,(8.5-27),则输出节点噪声em+1的方差为,上式表明浮点制的输出节点噪声与其输入节点变量,相关。,(8.5-28),同理可得到虚部误差的方差为,(8.5-29),与定点分析情况相同，因为前一级误差通过后一级蝶,形时其方差保持不变
13、，所以浮点FFT总的输出误差与,从输入x(n)到输出X(k)经过的蝶形个数相关，与第k个,F(k)有关的蝶形： M(末级)级一个；M1 (末前级)级,两个；M2级四个；，即在输出端总的输出误差,方差为,(8.5-30),因为每级蝶形输出信号的方差是输入信号方差的2倍，,即,(8.5-31),求式(8.5-31)的方差，可得,EXm+1(i)2= EXm (i)2+ EXm(j)2,利用这一关系类推，将所有Xm(j)的方差用X(k)的方差,表示为,EXM1(j)2=0.5 EX(k)2 ；,EXM2(j)2=(0.5)2 EX(k)2 ；,Ex(j)2=(0.5)M EX(k)2 ；,将上面的关
14、系代入(8.5-30)式，得到最后总的输出误差,方差为,输出噪信比,(8.5-33),(8.5-34),变化，这也是所有浮点制运算的共同特点。,由上式可见，输出噪信比正比M，远远小于定点制的,N=2M。这一结果表明相同尾数字长情况下，浮点噪信,比比定点小(运算精度高)。当然，这是由浮点制数字表,达的复杂性换来的；另外浮点噪信比不随信号幅度大小,8.5.4、FFT的系数量化效应,无限精度表示的DFT为,化误差等效为随机噪声，用统计的方法分析系数量化,了解FFT系数量化效应影响很有必要，但要精确分析也,不易。所以分析时为方便要做许多假设，也采用输入、,输出方式分析，即输入为 x(n)，输出为X(k
15、)。将系数量,效应。,均是WN的各次幂系数，其中一些可能是不需相乘的1。,系数量化后，上式可表示为,式中F(k)是由系数量化引起的DFT计算误差由某个 x(n),为了分析方便，也为了得到最差情况下误差的影响，假,定这M个因子都有误差，即x(n)通过每级碟形时，都乘,(8.5-35),则系数量化后的误差为,(8.5-37),=X(k) +F(k),与前相同，假定ei是统计独立、白色等概的随机变量，,一般i很小，忽略与其有关的高次项，,(8.5-39),则有,(8.5-38),(8.5-40),ei的方差为,E|Re(ei)|2= E|Im(ei)|2,(8.5-41),由式(8.5-37)的输出误差的方差为,(8.5-42), ME|ei|2,实际上系数量化误差与运算误差不同，对一个确定的滤,波器，系统的字长b一定，每个系数量化后的数值是可,知的，其系数的量化误差也是确定值。在分析中将其假,设为随机变量，用统计方法分析是为了对误差的大小作,的误差比实际误差稍大，可做大致估计之用。,根据帕塞维尔定理,(8.5-43),式(8.5-43)是输出序列的平均功率，假定输入x(n)是统计,独立、白色等概的随机变量，则X(k)也是统计独立、白,色等概的随机变量，序列的平均功率与序列的方差相等，,由此得到噪信比为,(8.5-44),上式表明噪信比与M=log2N
