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1、用DFT作频谱分析，只能处理有限时宽的信号。有限时,3.6用DFT作频谱分析,3.6.1、对连续信号进行频谱分析,也是连续函数。对模拟信号进行数字处理，必须对模拟,信号x(t)如声音、图像、电压、电流等，其频谱X(j),宽信号的时宽也称数据长度记为Tp。实际待处理的连续,信号xa(t)作时域采样，得到 x(n) = xa(nT) ，其中时域,采样频率为fs =1/T 。,在频率区间0, 2上的N点等间隔采样，其中数字域,上面的分析表明，对连续信号频谱进行数字处理时，既,会遇到时域采样，也要处理频域采样，如图3.6-1所示。,要利用DFT对x(n)进行频谱分析时，又必须对x(n)作,F= fs
2、/N 。,DFT，得到X (k) 。 X (k)是x(n)的傅里叶变换X(ej),频域采样间隔为2/N对应的模拟频域采样间隔为,图3.6-1 用DFT作频谱分析,与时域采样和频域采样有关的几个参数为：,它们的关系为,频域采样间隔 F,时域采样间隔T ；,频域采样点数N ；,数据长度Tp ；,F=fs/N=1/NT=1/Tp,时域采样频率 fs ；,图3.6-2示意了用DFT分析x(t)频谱的情况。,假设x(t)是数据长度为Tp ， 最高频率为fm的信号，,图3.6-2 用DFT分析xa(t)频谱的情况,1、混叠效应,3.6.2、频谱分析中的几个问题,从上面的讨论可知，连续信号频谱进行数字处理时
3、，,x(n)、 X (k)均为有限长序列。而傅里叶变换理论指出，,一般时宽有限的信号，其频宽是无限的，例如单个矩形,脉冲信号的频谱；反之亦然。即从理论上说，没有有,限时宽的限带信号。而由处理技术的可实现性，实际上,只能处理有限时宽信号。,用预滤波方法滤除一定的高频成分，使待处理信号的,对不同的场合要求，可以有不同的逼近程度，从工程,角度讲这是允许的。为了减小频谱混叠效应，可以采,因此对频宽无限的信号采样后，在频域中会出现混叠，,形成频谱失真，不能反映原信号的全部信息，这就是,混叠效应。所以用DFT作频谱分析是近似分析，当然，,有效带宽 fm小于折叠频率。,DFT可以看作由许多窄带带通滤波器组成
4、的滤波器。,2、栅栏效应,数据量少,计算量小。,为了进一步减小混叠效应，除了采用预滤波法外，通,计算量大; fs在单位时间内采样点数少，要存储的,通常采样频率取fs =3fm6 fm 。,fs在单位时间内采样点数多 ，要存储的数据量大、,直流,F,2F,(N1)F,DFT,所以称为 “栅栏效应”。,如果 x(t) 是非周期信号，它具有连续频谱，采样后,就象是在栅栏的一边，通过缝隙观看另一边的景象。,如果 x(t) 是周期信号，它只具有离散频谱，采样后,x(n) 的DFT的运算的频谱就是它的离散谱。,被“栅栏”挡住，是看不见的，所以这使得频谱较稀疏。,补零。,为了得到高密度的频谱，最简单的方法是
5、在x(n)后,x(n)的DFT的运算的频谱是X(ej )上的若干点，,fs,fs,x(n)后面再补4个零值 N=8， F = fs /12,F= fs /8 F = fs /12,N=8，F= fs /8,情况下仅增加采样率是不能改变频谱密度的。,因为 T= Tp / N= 1/ fs ，所以 fs =N/T p,Tp是数据长度,如果不是在采样样本后面加零，在数据长度 Tp一定的,例 设Tp =1s ，则,同理 T = Tp / N = 1/ fs ，所以 f s =N /T p,可以看到0、1Hz的情况。,可以看到0、1、2、3Hz的情况，频率间隔同例1。,此时，频率间隔是例1的1/2。,情
6、况同1。,可以看到0、0.5、1、1.5Hz的情况。,补两个零N =4 ，,如例3.2-1 、3.2-2 ， x(n)=R2 (n)，N=2 、 N=3,的频谱。,通过此例可见增加采样率改变的是频谱观察范围，而不,能改变频谱观察密度。,时比较X1(k) 、 X2(k)情况， X2(k)就是频率间隔较密,fs,fs,3、截短效应,序列，相当于不断地用矩形窗乘以该序列。矩形函数,分，所以截短函数也称窗函数。,DFT处理的是有限时宽序列，实际问题中的x(n)可能是,的作用像一扇“窗”，透过此窗只能“看”到x(n)的一部,非常长，处理时需要截短。要将x(n)分为若干N点的,设,x(n) X(ej),频
7、谱函数的卷积，使得加“窗”序列的频谱与原频谱不,同。,截短窗口(函数) w(t) W(j),x(n)被截短后：,不同的原因是有频谱“泄漏”。举例说明泄漏的影响。,后的频谱。,例3.6-1 已知 x(t) =cos0t ，绘出其采样以及被截短,解 x(t) =cos0t X(j),= (+0) +(0),x(n) =cosn0T X(ej)= X(ejT),可见：,频率上都为非零值。,一个周期内只有两个非零值频率，现在几乎所有的,求极限,为 Sa(/2)的连续频谱。我们说X(ej)= X(ejT)的,频率分量从 0 处“泄漏”到其它频率处了。原来在,“泄漏”是由矩形窗函数带来的，令对 Sa(/2
8、),原来在0处的一根谱线，变成了以 0为中心，形状,可使泄漏减小至零，而 ，就意味着无限加宽窗,函数，等于对不截短。所以不能用无限加宽窗口来减少,占有一定宽度。为了尽量减少泄漏，需要寻找频域中窗,函数W(j)接近 () ，即旁瓣小，主瓣窄的窗函数。,泄漏。泄漏的产生是由于W(j)具有旁瓣，并且主瓣也,=X(ej) ()= X(ej),由图3.6-6可见，频谱泄漏在主谱线两边形成的旁瓣，,引起不同频率分量间的干扰，也称谱间干扰。谱间,干扰会影响频率分辨，尤其是强信号的旁瓣有可能,淹没主信号的主谱线，或被误判为另一信号的谱,线，这是在实际应用中要注意的问题。,具体窗函数的设计在第七章介绍。,3.6
9、.3、DFT参数选择,用DFT对连续信号进行频谱分析时，要考虑两个方面。,一是频谱分析范围，二是频率分辨率。,样点数多，要存储的数据量大，计算量就大。,通常要求fs 2fm 。但采样频率fs高，在单位时间内采,频谱分析范围由采样频率fs决定，为了减少混叠失真，,要分析信号频谱，频率分辨率是十分重要的概念，它,反映了将两个相邻谱峰分开的能力，是谱分析中分辨,两个不同频率分量的最小间隔。因此通常将频域采样,以频率分辨率实际还与截短窗函数以及其时宽相关。,号频谱进行数字处理时的截短，如图3.6-7所示，所,间隔F = fs /N定义为频率分辨率。不过由于对连续信,因此也有文献将F = fs /N称为
10、“计算分辨率”。,差，有文献将Tp称为“物理分辨率”。,当连续信号x(t)经时宽为Tp的截短函数截短后，xTP(t),的频率分辨率Fp=1 /Tp ， Tp越小频率分辨率能力越,频谱。,并讨论其结果。,对下列情况画出对应的|X(j)| 、 |XTP(j)|示意图，,信号组成的，经时宽为Tp的矩形函数截短后，分别,例3.6-2 x(t)是由两个频率分别为1 、 2的周期正弦,度为4 /Tp作截短函数为例，讨论x(t)经其截短后的,下面以矩形函数，其频谱为Tp Sa(Tp /2) ，主瓣宽,(1) | 21|= 2 /Tp,(2) | 21|= 3 /Tp,(3) | 21|= 4 /Tp,(1)
11、 | 21|= 2 /Tp， |X(j)| 、 |XTP(j)|示意图如图,其主瓣宽度为4/Tp 。,3.6-8所示。,解 矩形函数的振幅频响|XTP(j)|=Tp | Sa(Tp /2) | ，,图3.6-8,的|X(j)|混为一个，已无法从中分辨这两个频率分量。,下，尽管可在x(n)后面加零，改变频谱的频率取样间隔，,但改变的仅是频谱的频率取样密度，而无法改变频率分,辨率。此时要改变频率分辨率必须加宽截短函数的时,由图3.6-8可见，由于2/Tp =|21| ，原本两个谱峰,正如前面讨论所指出的，在数据长度Tp一定的情况,宽Tp 。,(2) | 21|= 3 /Tp， |X(j)| 、 |
12、XTP(j)|示意图如图,3.6-9所示。,分辨这两个频率分量有一定难度。,(3) | 21|= 4 /Tp， |X(j)| 、 |XTP(j)|示意图如图,3.6-10所示。,由图3.6-9可见，当| 21|=3 /Tp时，也有混叠使,原本两个谱峰的|XTP(j)|的谱峰较为平缓，要从中,图3.6-10,由图3.6-10可见，当| 21|= 4 /Tp时，很容易从，,|XTP(j)|中分辨这两个频率分量。,时，例3.6-2(1)、(2)、(3)的|XTP(j)|波形如图3.6-11所,特别的， Tp=1 ，1 =2 ，而2分别为4 、5 、6,示。,从上述情况看，物理分辨率低与频谱的混叠有关
13、，而频,的周期正弦信号组合的x(t) ，仍是一个周期正弦信号,时，必有信息损失，导致频谱混叠，严重的就无法分,辨原有谱峰。,谱的混叠正是由截短造成的。若由两个不同频率(1,2),2 / ，且=|21|越小，T0越大。当T0 Tp,(两个以上频率分量的情况类推)，其新周期为 T0 =,所以当根据1、2确定了取样频率fs后，还要根据,=|21|考虑数据长度Tp ，一般应满足Tp 2T0 。,特别是Tp =MT0 ( M=1,2, )时，通过DFT可以恢复原,信号频谱； Tp T0但Tp MT0时，可以看到频谱泄漏。,数字信号频谱只是模拟频率对采样频率作了归一化处理，,选取。,对数字域频谱当由1、2
14、确定了取样频率fs以及,1 、 2后，还要根据=|21|考虑数据长度Np 。,即 =T =/fs，将截短时宽Tp用Np表示， x(n)的周期,数据长度用N0表示，同理可讨论数字频谱截短时宽的,率相同，通过DFT可以恢复原信号的频谱。,物理分辨率低于计算分辨率，其物理分辨率并没有被,改善。,Np越长，物理分辨率对计算分辨率影响越小，但计算,量越大。一般当Np =2N0时，物理分辨率与计算分辨,当DFT的点数是通过x(n)后面补零达到Np 2N0时，,特别若Np取N0，1 、 2是0=2/N0的整数倍。,而Np N0 ，但Np MN0时，可以看到频谱泄漏。,这时因为1 、 2正在取样点上，只有两根
15、谱线，这,同理，若频谱分量有两个以上1 、 2、3 、时，数据,长度Np=2N0。,并不能说明由截短引起的混叠对频率分辨率无影响。,从上述讨论可知，频率计算分辨率与频率采样间隔 F,提高频率分辨率，代价是计算量的增加。,有关，显然， F 越小，X(k)就越接近X(ej) 。,F、fs、 N、 Tp 这几个参数的选取要综合考虑。当已,知信号的最高频率fm ，如保持N不变，要提高计算频,率分辨率，只有降低采样频率 fs，而 fs 的降低会使频,谱分析范围减少。如果 fs 不变，可用增加 N 的方法,b.根据需要确定频率采样两点之间的间隔 F,参数选择的一般原则：,a.当确定了信号的最高频率fm后，取样频率,fs 3fm 6 fm,c.确定N,d. 确定数据长度,Tp =NT,N =fs / F,如果不满足实际频率分辨的需要，还可进一步调整 Tp。,为了使用基2FFT，一般 N =2m,b. 最高频率fm =2.5kHz不变，要求频率分辨密度增加,一倍，再求最小数据长度Tp ，最少采样点数Nmin 。,试求：a.最小数据长度Tp ，最大采样间隔Tmax ，最少,例3.6-3：对已知最高频率fm=2.5kHz的模拟信号进行,采样点数Nmin 。,频谱分析，要求频率采样间隔F10Hz 。,解a,b 频率分辨密度增加一倍，F5Hz,
