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1、时域连续信号的变换,FS（傅氏级数）； FT（傅氏变换）；,时域离散信号的变换,ZT ； DTFT（序列傅氏变换）,第2章 Z变换与离散系统的频域分析,2.1 Z变换,LT（拉氏变换）,z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。,连续信号的理想抽样信号为,式中 T 为抽样间隔。,对上式取双边拉氏变换，得到,xs(t) = x (t) T (t),交换运算次序，并利用冲激函数的抽样性，得到抽样,信号的拉氏变换为,令 z=esT 引入新的复变量， 并将(2.1-1)式写,(2.1-2)式是复变量z的函数(T是常数），记为,(2.1-3)正是双边z变换的定义。式中,z=esT =e(+j)T = re
2、 j,r=eT, =T,如果x(n)是因果序列，则(2.1-3)式的z变换为,(2.1-4)也称单边z变换。可见因果序列的双边z变换是,单边z变换，所以单边z变换是双边z变换的特例。,2.2、Z变换的收敛区及典型序列的Z变换,定义：对于任意给定序列，使(2.1-4) 式收敛的z值集合。,2.2.1 Z变换的收敛区,举例说明(2.1-4) 式收敛与否，及在什么范围收敛。,例2.2-1已知序列,分别求它们的z变换及收敛区。,解,|az1| 1,|a| |z|,|a1z| 1,|a| |z|,定不同。所以为了唯一确定z变换所对应的序列，双,此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边z变换，,不同序
3、列的表示式有可能相同，但各自的收敛区一,的收敛区。,边z变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明X(z),X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径,的圆外， X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。,任意序列z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即,一般双边变换的收敛区为一环状区域RX |z|RX+,RX 、 RX+的具,体取值与序列,x(n)有关。,下面具体讨论收敛区与序列的关系。,极点为半径的圆。,收敛，所以收敛区内无极点。收敛区的边界一般是以,项式之比。分子多项式中使X(z)=0 的 z 值为零点；,X(z) 的表示式往往是一个有理函数，即是 z 的两个多
4、,X(z)的收敛区与极点关系密切，因为X(z)在极点上不,分母多项式中使 X(z) = 的z 值为极点。,1、有限时宽序列 n1 n2,0|z|,n1 0,n2 0,0|z|,0|z|,X(z) =x (n1) zn1 + +x (n2) zn2,解,例2.2-2 已知x(n) =RN(n) ，求X(z)。,收敛域为0|z|,=1+ z1 + z2 + + z(N1),2、右边序列(有始无终),n2 ,、 的公共收敛域 RX |z|,的收敛域 0|z|,的收敛域 RX |z| ,特别的n1 0,收敛区是以RX为收敛半径的圆外。,收敛域 RX |z| ,解,收敛域 1/3 |z| ,例2.2-3
5、 已知x(n) =(1/3)nu(n ) ，求X(z) 。,或 |z| 1/3,当|(1/3)z1|1,右边序列X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则收,敛区是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。,右边序列一般情况RX |z|,3、左边序列(无始有终),n1 ,的收敛域 0|z| RX+,的收敛域 0|z| ,、 的公共收敛域 0|z| RX+,收敛区是以RX+为收敛半径的圆内,特别的n2 0,收敛域 0|z| RX+,|z| |b|,例2.2-4 已知x(n) =bnu (n1) ，求X(z) 。,如果|b1z|1,或0|z| |b|,左边序列X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则收敛,
6、区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。,左边序列的一般情况 0|z| RX+,必须标明收敛区，否则有二义性，这是与单边z变换不,同的。,|z| |a|,|z| |a|,x2(n) =anu (n1) X2(z),x1(n) =anu (n) X1(z),4、双边序列（无始无终）,n1,n2 ,RX RX+双边序列z变换不存在,的收敛域 0|z| RX+,的收敛域 RX |z| ,解：,例2.2-5 已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。,n0,=X1(z) +X2(z),=cz+ (cz)2 + (cz)3 + ,|cz|1,或|z|1/ |c|,讨论：,n0,则 X(z) =
7、X1(z) +X2(z),|c| |z|1/|c|,|c| |z|, |c| 1,双边序列z变换不存在, |c| 1,2.2.2 典型序列的Z变换,1. (n),Z(n)=,2. u(n),(n)1,|z1| 1,|z| 1,3.斜变序列n u(n),可利用u(n)的z变换,|z| 1,|z| 1,Zn u(n)=z1 +2z2 + +nzn + ,等式两边分别对z1求导，得,等式两边各乘z1 ，得到,4.指数序列,|z| |a|,|z| |a|,Zanu(n)=,(1) anu(n),Zanu( n 1),(2) anu(n1),若a=eb ，则,|z| |eb|,Zebnu(n)=,可推得
8、,将正、余弦序列分解为两个指数序列,|z| 1,|z| 1,5、正、余弦序列,由指数序列,|z| |eb|,6、双边指数序列,|a| |z| 1/|a|,|z| 1,则由柯西积分定理，可以推得逆变换表示式为,2.3 Z反变换,(2.3-1),RX |z| RX+,c(RX ，RX+),Z反变换是由X(z) x(n)的运算。,若,证明,交换积分、求和次序,由柯西积分定理,k=0 。此时，积分为1，其它为0。,(2.3-2),(2.3-3),比较上两式可知，式(2.3-3)中nm=0相当式(2.3-2)中,复变函数积分。,有理函数时，一般用留数法计算反变换而不是直接计算,一般来说，计算积分比计算函
9、数要困难，所以当X(z)为,式(2.3-3)只有n=m一项，所以,2.3.1、留数法,当X(z)为有理函数时,其中zk为X(z)zn1的极点。,1、zk为X(z)zn1的单极点,=ResX(z)zn1, zk,2、zk为X(z)zn1的s阶重极点,ResX(z)zn1, zk,当n0时，c围线包围z1=a的一阶极点。,=an,当n0时，c围线包围z1=a的一阶极点， z 2=0(n=s阶),极点。,=an,=,=(1)n1(a)n,=(1)n1+n an,= an,所以,c是半径小于|a|的围线,= an u(n1),是左序列,最后,当n0时，c围线无极点，x(n)=0。,当n0时，c围线包围
10、z 2=0(n=s阶)极点。,= an,还有其它求逆变换的方法。,2.3.2、幂级数法,X(z)展开为,比较可得,X(z)=+x(2)z2+ x(1)z+ x(0)+ x(1) z1 + x(2) z2 + ,例2.3-4 X(z)=log(1+az1) ，|z| |a| ，求 x(n) 。,az1 =x,|az1| 1,|x| 1,特别的，当X(z)为有理函数时也称长除法。,序列为右序列，应展开为z的降幂级数,序列为左序列，应展开为z的升幂级数,适用单边的左或右序列，双边序列不适用,的降幂级数。,解：因为收敛区在1/|a| 外，序列为右序列，应展开为 z,az1,az1,z1,1,+,的升幂
11、级数。,解：因为收敛区在1/|a|内，序列为左序列，应展开为 z,由此可得,x(n)= an u(n),z1 +a,a a2z,a2z,a2z a3z2,a3z2 a4z3,a4z3,(az)4 ,(az)3,(az)2,(az),由此可得,x(n) = an u(n1),X(z) = az (az)2(az)3 (az) 4 ,由此决定分母多项式是按升还是按降幂排列。,在用长除法之前务必确定 x (n)是左序列还是右序列，,2.3.3、部分分式法,部分分式法是基于已知简单序列变换对基础上的一种,方法，即将一般的有理多项式展开为简单的有理式。,一般有理多项式可表示为,式中分子的最高次为M ，分
12、母的最高次为N 。,F(x)可展开为,1、MN， 且Q(x)均为单根xk ， F(x)为单极点，,F(x)可展开为,2、MN， Q(x)有x=xi的s阶重根，其余为单根，,3、MN， F(x)可展开为,= F0(x) +F1(x),Ak 、Ck(x)计算同上,有一s阶重根,均为单根,做z反变换时，可以令 z = x ，也可以令z1= x。,不同的是，在按 z 将 X(z) 展开时，简单有理多项式,时就不必作前处理。,前要做前处理，即展开的是 X(z) /z ；而按 z1 展开,的分子应有 z才能直接套用式（2.3-10），所以展开,1|z|,x(n)= (20.5n)u(n),x(n)= 2nu(n) + (3)nu(n1),因为收敛区为2|z|3 ，是双边序列，由此可得,、 |a|b|z| ；, 、 |z| |a|b| ；, 、|a| |z| |b| ；,、 |a|b|z| ；, 、 |z| |a|b| ；, 、|a| |z| |b| ；,
