《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第七章 向量与空间解析几何初步 第五节 空间曲线及其方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第七章 向量与空间解析几何初步 第五节 空间曲线及其方程（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 空间曲线及其方程,引 空间中出了曲面和平面之外，还存在曲线，曲线如何用方程表示呢？,1. 空间曲线的一般方程,由本章第五节知道, 直线也可以看作两个平面的交线. 同样, 空间曲线也可以看作两个曲面的交线.,设两个曲面 F ( x , y , z ) , G ( x , y , z ) 的交线为 C , 见图,则曲线 C 上任意一点 M ( x , y , z ) 必同时在两个曲面上,反之, 如果点 M 不在曲线 C 上, 则它不可能同时在两个曲面上, 故点 M 的坐标不满足上面的方程组.,因此, 曲线 C 可以用方程组 (1) 来表示, 称为曲线的一般式方程.,故 M 点的坐标同时满足
2、这两个曲面方程, 即满足方程组,例1 方程组,表示怎样的曲线?,解 方程组中的第一个方程表示球心在原点, 半径为 5 的球面, 第二个方程表示平行于 xOy 面的平面,方程组则表示球面与平面的交线, 该交线是以点 ( 0 , 0 , 3 ) 为圆心, 半径为 4 , 在平面 z = 3 上的圆, 见图.,例2 方程组,表示怎样的曲线?,解 方程组表示圆柱面 x 2 + y 2 = 1 与平面 2 x + 3 z = 6 的交线, 该交线是一椭圆, 见图.,二、空间曲线的参数式方程,空间曲线也可以用参数形式来表示. 将曲线 C 上的动点的坐标 x , y , z 表示为参数 t 的函数,当给定
3、t = t 1 时, 就得到 C 上的一个点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , 随着 t 的变动便可得到 C 上的全部点. 称方程组 (2) 为空间曲线 C 的参数式方程.,例3 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 上以角速度 w 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升(其中 w , v 都是常数) , 则点 M 的轨迹称为螺旋线, 试建立其参数方程.,解 取时间 t 为参数, 设 t = 0时, 动点在 x 轴上的点 A ( 0 , 0 , R ) 处.,经过时间 t , 动点由点 A 运动到点 M ( x , y , z ) ,
4、 见下页图.,记点 M 在 xOy 面上的投影为 M , 则 M 的坐标为 ( x , y , 0 ) , 由于动点在圆柱面上以角速度 w 绕 z 旋转, 所以经过时间 t , AOM = w t = , 从而,由于动点同时以线速度 v 沿平行于 x 轴正向方向上升, 所以,因此得螺旋线的参数式方程为,若以 为参数, 则螺旋线方程又可写成,螺旋线是实践中常见的曲线, 如螺丝杆的外缘曲线就是螺旋线.,三、空间中曲线在坐标平面上的投影,设曲线 C 的一般方程为,从这个方程组中消去 z 后得到,H ( x , y ) = 0 (3),的坐标满足上面的方程组时, 前两个坐标 x 和 y 一定满足方程
5、(3), 这就说明, 曲线 C 上所有的点都在柱面 H ( x , y ) = 0 上, 也就是说, 这个柱面是曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面, 则曲线 C 在 xOy 面上的投影为,这是母线平行于 z 轴的柱面方程.,当点 M ( x , y , z ),例4 求曲线,在 xOy 面上的投影.,解 从方程组中消去 z 得 x 2 + y 2 = 1 ,这是母线平行于 z 轴的柱面, 它与 xOy 面的交线,这就是曲线在 xOy 面上的投影, 见图,即投影曲线是 xOy 面上的单位圆.,例5 求曲线,在 xOy 面上的投影.,解 将第二个方程代入到第一个方程中, 有,x 2 + y 2 + ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 ,整理得,( x 2 + y 2 + 2 ) ( x 2 + y 2 1 ) = 0 .,得投影柱面为,x 2 + y 2 1 = 0 ,
