《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第七章 向量与空间解析几何初步 第三节 曲面及其方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第七章 向量与空间解析几何初步 第三节 曲面及其方程（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 曲面及其方程,引 在日常生活中，我们常常会看到各种曲面，例如，水桶的表面、台灯的罩子面等如何建立空间曲面的方程？一些特殊形状的空间曲面，其方程是什么？,一、曲面方程的概念,类似于在平面解析几何中把平面曲线看作是动点的轨迹那样，在空间解析几何中，曲面也可看作是具有某些性质的动点的轨迹.,F ( x , y , z ) = 0 . (1),在空间中的图形是一个曲面.,一般来说, 一个关于 x , y , z 的三元方程,如果在曲面 S 与方程 (1) 之间有下面的关系:,在曲面 S 上的点的坐标都满足这个方程, 而不在曲面 S 上的点的坐标都不满足这个方程, 则称方程 (1) 为曲面 S
2、的方程, 称曲面 S 为方程 (1) 的图形, 见图.,研究曲面时, 有时根据曲面上的点所满足的条件去建立方程, 有时先给出曲面 S 的方程, 再去讨论它的图形.,例1 求半径为 R , 球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的球面方程.,解 设 M ( x , y , z )是球面上的任意一点, 则点 M 到点 M 0 的距离总为常数 R , 由两点间的距离公式有,两边平方后, 得,显然, 球面上的点的坐标都满足该方程, 不在球面上的点的坐标都不满足该方程, 所以, 式 (2) 就是球心在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 半径为 R 的球面方程.,当球心在原
3、点时, 球面方程为,x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ,其图形见图.,二、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为,故在空间,过此点作,圆柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义,观察柱面的形成过程:,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的
4、曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线
5、并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,
6、定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线
7、，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,一般地, 一个仅含 x 和 y 而不含 z 的方程,F ( x , y ) = 0 (5),在空间中的图形是一个母线平行于z 轴的柱面.,如 x 2 + y 2 = R 2 在空间中的图形是一个母线平行于 z 轴的圆柱面. 该圆柱面的准线为
8、xOy 面上的曲线 x 2 + y 2 = R 2,柱面的准线为与 xOy 平面上的曲线F ( x , y ) = 0,同理, 在空间中方程 F ( x , z ) = 0 及 F ( y , z ) = 0 分别表示母线平行于 y 轴及母线平行于 x 轴的柱面.,如 z = x 2 表示一个母线平行于 y 轴的抛物柱面, 见图.,定义3. 一条平面曲线,三、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转
9、曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转
10、 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面
11、.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,旋转曲面.,同理：当曲线,绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:,例1. 旋转抛物面,特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。,
12、例如:将yoz平面上的抛物线C:,绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:,例如:将yoz平面上的抛物线C:,绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:,问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?,例2:,其图形顶点在z轴上(0,0,1)处,开口向下的旋转抛物面.,例3. 旋转椭球面,特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的,对称轴.,例如:yoz面上的椭圆:,绕z轴旋转得旋转曲面方程:,绕y轴旋转得旋转曲面方程:,(0,0,1),注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等.,例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例5: 问方程:,表示什么图形?,解: 其所表示的曲面可看成在 yoz平面上的直线,绕y轴旋转成圆锥面的右半部分,也可看成xoy平面上,的直线,绕 y 轴旋转而成的圆锥面.,例6 :xoz平面上的直线,绕z轴旋转得旋转曲面:,是以z轴为轴,顶点(0,0,1),的圆锥面.,半顶角,例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,
