《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第七章 向量与空间解析几何初步 第二节 向量及其运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第七章 向量与空间解析几何初步 第二节 向量及其运算（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、引 在物理学、力学等学科中，经常会遇到既有大小又有方向的这样一类量，如力、速度、力矩等，这类量称为向量或矢量那么如何表示向量？如何定义向量的运算呢？,第二节 向量及其运算,一、向量的概念,表示法:,向量的模 :,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,如：力、力矩、位移、速度、加速度,（简称向量）,（数量（标量）：与方向无关的量,如：长度、面积、时间、质量、温度）,（几何上为有向线段的长度）,其方向是任意
2、的,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,二、向量的线性运算,1. 向量的加减法,设 a 与 b 为两个向量, 任取一点 A, 作 AB = a , AD = b , 以 AB, AD 为邻边做平行四边形 ABCD, 其对角线向量 AC = c , 称为向量 a , b 的和, 见图,记为 c = a + b . 这种求向量和的方法称为平行四边形法则.,求两个向量的和时, 也可以使用三角形法则.,方法是, 作 AB = a , BC = b , 则由 a
3、的起点到 b 的终点的向量就是 c = a + b , 见图.,由向量加法的三角形法则可知, 当三个向量 a , b , c 首尾相接构成三角形时, 有 a + b + c = 0.,当 n 个向量相加时, 可将这些向量依次首尾相接, 则连接第一个向量的起点与最后一个向量的终点所得到的向量即为所求的和.,左图是三个向量 a , b , c 的和, 右图是四个向量 a , b , c , d 的和.,图 6 8,a + b,b + c,a + b + c,图 6 9,a + b + c + d,a,b,c,d,设 a 为一向量, 称与 a 的模相同而方向相反的向量为 a 的负向量, 记为 a .
4、,规定 a 与 b 的差(见图) 为,a b = a + ( b ) .,由右图可以看到, 求两个向量的差时, 可以将向量的起点置于同一点, 连接两个向量的终点所得到的向量就是 a b 或 b a .,2. 向量与数的乘法,设 是实数, a 是向量, 规定二者的积 a 为一个向量, 且 a = a .,当 0 时, a 的方向与 a 的方向相同; 当 0 时, 的方向与 a 的方向相反; 当 = 0 时, a = 0 .,由该定义可知, 当 b = a 0 时, b 与 a 总是平行.,向量加法及向量与数的乘法是线性运算, 满足下列运算律.,交换律 a + b = b + a ;,结合律 (
5、a + b ) + c = a + ( b + c ) , ( a ) = ( a ) = ( ) a ;,分配律 ( a + b ) = a + b , ( + ) a = a + a .,设 a 是非零向量, a 0 是与其同方向的单位向量.,由数与向乘积的定义可知, a 与 a a 0 有相同的方向,并且 a a 0 的模为 a a 0 = a a 0 = a , 即 a 与,a a 0 有相同的模, 所以 a = a a 0 .,当 a 0 时, 有,即一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量方向相同的单位向量.,由于向量与平行, 故常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系, 即有
6、如下定理.,三、向量的坐标表示式,前面用几何方法讨论了向量的表示和运算, 这种方法虽然直观, 但难以进行精确计算, 而且有些问题仅靠几何方法也是难以解决的. 下面引进向量的坐标, 将向量与有序数组联系起来, 从而也可以用代数方法来研究向量.,设一向量 r = OM , 起点为原点 O ( 0 , 0 , 0 ) , 终点为 M ( x , y , z ) , 这种起点在原点的向量称为向径.,过点 M 做三个分别垂直于 x 轴, y 轴和 z 轴的平面, 加上三个坐标面, 六个平面围成一个长方体 OPNQ RHMK , OM 是其对角线, 见图.,由向量加法的定义, 有,OM = ON + OR
7、 ,ON = OP + OQ ,即 OM = OP + OQ + OR .,上式右端的三个向量就是向量 OM 沿三个坐标轴方向的分量, 也就是将向量OM 分解成三个相互垂直的向量之和.,在 x 轴, y 轴和 z 轴上取与各轴正向相同的单位 向量 i , j , k , 显然 OP 是平行于 i 的, 并且 OP = x i .,同理有 OQ = y j , OR = z k . 因此得到,r = OM = x i + y j + z k . ( 1 ),该式称为向量 r 的坐标分解式, 称 x i, y j, z k 为向量 r 在坐标轴上的分量.,向量 OM 与有序数组 ( x , y ,
8、 z ) 之间是一一对应的关系.,称 x , y , z 是向量 OM 的坐标, 记为 OM = ( x , y , z ) , 称为向量的坐标表示式.,下面考虑一般向量的坐标.,设向量 AB 的起点为 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , 终点为 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 三个向量 OA , OB 和 AB 构成一个三角形, 见图.,由向量的加减法运算可得 a = AB = OB OA.,由向径分向量的坐标表示式及向量的线性运算律, 得,a = ( x 2 i + y 2 j + z 2 k ) ( x 1 i + y 1 j + z 1 k ),= ( x
9、2 x 1) i + ( y 2 y 1 ) j + ( z 2 - z 1 ) k,= a x i + a y j + a z k . (2),其中 a x = x 2 x 1 , a y = y 2 y 1 , a z = z 2 z 1 .,称 a x i , a y j , a z k 为向量 a 在三个坐标轴上的分向量, 称 a x , a y , a z 为向量 a 的坐标, 称 a = ( a x , a y , a z ) 为向量 a 的坐标表示式.,若两个向量相等, 则它们的坐标对应相等, 反之亦然.,当向量 a 0 时, 向量 b / a 相当于 b = a , 其坐标表示
10、式为,上式相当于,即两向量对应的坐标成比例.,式 (3) 说明, 两个非零向量平行的充要条件是它们对应的坐标成比例.,当 a x , a y , a z 中有一个是零时, 例如 a x = 0,这时式 (3) 因有分母等于零而失去意义, 但为保持形式上的一致, 上式仍可写成,但此时应理解为,当 a x , a y , a z 中有两个是零时, 例如 a x = a y = 0 , 应理解为 b x = b y = 0 .,例1 已知两点 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 以及实数 1, 在直线 AB 上求一点 M , 使得 AM = M
11、B .,解 设点 M 的坐标为 ( x , y , z ) , 见图.,由于 AM = MB , 因此,( x x 1 , y y 1, z z 1 ) = ( x 2 x , y 2 y , z 2 z ),从而 x x 1 = ( x 2 x ) , y y 1 = ( y 2 y ) ,即得点 M 的坐标为,z z 1 = ( z 2 z ) ,四、方向余弦,先引入向量夹角的概念.,设有两个非零向量 a 与 b 将它们的起点置于同一点, 规定二者在 0 与 之间的那个夹角为两向量的夹角(设 为其夹角, 即取 0 , 见图) . 记为 ( a b ) 或 ( b a ) , 即 = ( a
12、 b ) .,当 a 与 b 平行, 且指向相同时, 取 = 0; 当指向相反时, 取 = .,当 a 与 b 的夹角为 / 2 时, 称 a 与 b 垂直, 记为 a b .,如果 a , b 中有一个为零向量, 规定它们的夹角可取 0 到 之间的任意值.,对非零向量 a 与一个 轴 u , 可在 u 轴上取与 u 轴同向的向量 b , 规定 a 与 b 之间的夹角即为 a 与 u 轴间的夹角. 类似地还可以规定两个轴之间的夹角.,设向量 r = ( x , y , z ) 与 x 轴, y 轴和 z 轴正向的夹角分别是 , 和 , 则,称 , , 为向量 a 的方向角, cos , cos
13、 , cos 称为向量 a 的方向余弦, 则可得到重要关系式,因此, 以向量 r 的方向余弦为坐标的向量就是与 r 同方向的单位向量.,例2 已知两点,求向量 AB 的方向余弦、方向角以及与 AB 同方向的单位向量.,解 因为,与 AB 同向的单位向量为,定义1 设 a , b 为向量, 为两向量间的夹角, 称 a b cos 为向量 a 与 b 的数量积, 记为 a b , 即 a b = a b cos .,由定义1 可知, 向量a , b 做数量积的结果是一个数, “数量积”这个名称即由此而来.,五、向量的数量积,由定义1 还可以推得如下结论.,(1) a a = a 2 .,这里因为夹
14、角 = 0 , 所以 a a = a 2 cos 0 = a 2 .,(2) 对于非零向量 a 与 b , 当 a b 时, a b = 0 ; 反之, 当 a b = 0 时, 必有 a b .,由于零向量的方向可以看成是任意的, 故可以认为零向量与任何向量都垂直, 因此得到结论: 向量 a b 的充分必要条件是 a b = 0 .,下面考虑数量积的坐标表示式.,设 a = a x i + a y j + a z k , b = b x i + b y j + b z k ,由数量积的运算律, 有,a b = ( a x i + a y j + a z k ) ( b x i + b y j
15、 + b z k ),= a x b x ( i i ) + a x b y ( i j ) + a x b z ( i k ),+ a y b x ( j i ) + a y b y ( j j ) + a y b z ( j k ),+ a z b x ( k i ) + a z b y ( k j ) + a z b z ( k k ),因为 i , j , k 是相互垂直的单位向量, 故,i i = 1 , j j = 1 , k k = 1 ,i j = j i = 0 , i k = k i = 0 , j k = k j = 0 .,将这些关系式带入到上式中, 得,这就是两个向量数量积的坐标表示式. 利用
