《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第四章 导数的应用 习题课4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第四章 导数的应用 习题课4（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 导数的应用习题课 (一),微分中值定理,一、微分中值定理,1罗尔定理,2拉格朗日中值定理,在 上连续, 在 内可导, 且 ,在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一,使,则至少存在一 使,三、两个定理之间的内在联系,拉格朗日中值定理,罗尔定理,二、判别 的方法,若,，则,四、典型例题,定理的三个条件。,分析：考虑利用罗尔定理证明。,的左端函数, 其次 在题设的相应区间上满足罗尔,首先构造一个函数 使 ，其中 是欲证方程,证明: 设,由罗尔定理，存在 使,即,这说明 就是方程,的一个小于 的正根.,零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。因此构造函数,范围内, 不能找到区间 ，使得 , 所以不
2、能利用,由于要证明方程至少存在根，所以，要在 的范围内,的系数，不难发现,所以选取,，因此，对 应用罗尔定理即可证明。,证明 ：令,取区间,显然 在 连续，在 内可导，且,即,构造函数,因此，方程 至少有一个,正根。,罗尔定理的条件，且从 中能得出 .,由于结论是两项和，故 为两个函数乘积的形式。将,分析 从结论 看等价于方程,有实根，但若利用零点定理，无法验证 ，所以,换为 若令 则结论,为,证明: 令,且 , 故由罗尔定理知,使 即,由已知条件知 在 上连续, 在 内可导，,第三章 导数的应用习题课,洛必达法则,1洛必达法则：, 函数 与 都趋向于0(或 );, 与 都存在,且 ;, 存在
3、(或为无穷大).,那么,设在 的某一趋向下,函数 与 满足:,2适用类型：未定式,基本型： “ ”型“ ” 型，运用洛比达法则求.,二、典型例题,【例1】计算,解:,（ 型）,分析 当 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算.,【例2】计算,解：,（ 型）,解：,等价无穷小代换,（ 型）,分析 当 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算.,【例4】计算,解：,( 型),( 型),分析 当 时, 函数式为 型, 将其化为 或 型.,【例5】计算,解：,( 型),（ 型）,（ 型）,分析 当 时, 函数式为 型, 将其化为 或 型.,【例6】求,解：,( 型),令,（ 型）,分
4、析 当 时, 函数式为 型, 将其化为 或 型.,使用洛必达法则求极限应注意的问题, 洛必达法则可反复使用, 但是要注意验证洛必达法则的条件., 单纯应用洛必达法则可能导致繁杂的计算，注意把求极限的多种方法综合运用（如等价无穷小代换、两个重要极限、变量替换等），并利用极限运算法则及时化简非零因子，可使计算简捷。,第三章 导数的应用习题课 (三),导数的应用,一、函数的极值与单调性,1函数极值的定义,2函数的驻点,3函数的单调区间的判别,则 为 的驻点。,在 上，若 ，则单调增加；,若 ，则单调减少；,1函数凹凸性定义,2函数的拐点,称曲线为凹的；,称曲线为凸的。,3函数凹凸性的判别,二、函数的
5、凹凸性及拐点,凹弧与凸弧的分界点 。,凹 ； 凸。,1第一充分条件,三、函数极值的充分条件,则 在 处取得极大值；,则 在 处取得极小值；,（3）若 时， 的符号保持不变，,则 在 处没有极值；,（1）若 时，,而 时，,（2）若 时，,而 时，,2第二充分条件,（2）当 时，函数 在 处取得极小值；,（1）当 时，函数 在 处取得极大值；,四、典型例题,解:,【例1】确定函数 的单调区间。,因为 ，故知 的不可导点仅有 , 令,，得 ， 。从而有,当 时， ，故 在 内单调减少；,当 时， ，故 在 内单调减少；,当 时， ，故 在 内单调增加；,当 时， ，故 在 内单调减少；,解: 在方
6、程两边对 求导，得 ，即,。令 ，得 ， 。从而有,当 时， ，故 在 内单调减少；,当 时， ，故 在 内单调减少；,当 时， ，故 在 内单调减少；,【例3】当 时,证明：设,故 在 上单调增加，而,因此,即,因为,【例4】 证明：当 时，有不等式 .,证明：设 , 则 ；,从而 在 内单调增加，即有,因此 在内单调增加，于是有,即,亦即,解： ， 。由于点,为拐点，必有 ,即 ， 。又点,为驻点，必有 ，即 ，,从而函数为 ，注意到,当 时， ，图形是凸的；,【例6】 求函数 的极值.,解：（1）函数的定义域为,（2）,（3）令 得驻点 ；,（4）利用第一充分条件。,当 时， ；当 时，
7、 .,同理在 处取得极大值, 极大值为 .,本题的第四步也可用第二充分条件来判别：,因而, 函数 在 处取得极小值，极小值为 .,（4）利用第二充分条件。,所以， 在 处取得极小值, 极小值为 ;,【例7】 求函数 的极值.,解： 函数的定义域 为,令 ,得驻点 ,且在 内只有一个驻点,而无不可导点.,在 处取得极大值，且极大值为 .,从而，函数在 处取得极小值，极小值为0.,【例8】 求函数 的极值.,解：（1）函数的定义域 为 ;,（2）当 时, ; 当 时, 不存在.,（3）函数在 内无驻点, 只有一个不可导点 ;,（4）由于在 内, ,函数单调增加;,在 内, , 函数单调减少;,极大值为 .,又函数在 处连续, 于是函数在 处取得极大值,解 :,将这些点处的函数值,最大值为,最小值为,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,补充点:,极大值,拐点,极小值,
