《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第四章 导数的应用 第五节 函数的极值与最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第四章 导数的应用 第五节 函数的极值与最值（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、函数的极值,二、函数的最值,第五节 函数的极值与最值,一、函数的极值,定义1 设函数 f (x)在(a, b)内有定义, x0(a, b), 若U(x0 , ) (a, b)使得,总有 f (x) f (x0), 则称 f (x0)为 f (x)的一个极大值；,总有 f (x) f (x0), 则称 f (x0)为 f (x)的一个极小值.,使 f (x)取得极大(小)值的点 x0 称为函数 f (x)的极大(小)值点, 简称为极值点.极大值与极小值统称为极值。,(3) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,(1) 函数的极值是一个局部概念, 在区间上一个极大值有可能小
2、于它的一个极小值, 如 f (x2) f (x5);,(2) 函数在不可微但连续的点也可能取得极值, 如x = x4；,(4)极值点不能取在区间的端点.,定理1：（极值点的必要条件）,满足方程,的点，称为函数 f (x)的驻点。,驻点可能是极值点，也可能不是极值点。,能不能说极值点一定是驻点呢？,也不能这么说。因为极值点，函数可能不可导。,只有那些导数存在的极值点才是驻点。,极值点的充分条件,定理 2 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,例1 求函数,解 定义域： (-，+)，,极大,极小,x =0，x =1是函数的连续但不可导点，,解,例2,定理3(第二充分条件) 设函数 y = f
3、 (x)在 x0处具有二阶导数, 且 f (x0) 0, f (x0) 0, 则,(1)当 f (x0) 0时,函数 f (x)在 x0处取得极大值；,(2)当 f (x0) 0时,函数 f (x)在 x0处取得极小值.,证 只证明情形(1), (2)与之类似.,例3 求函数 f (x) = -x4 + 2x2 的极值.,解 定义域：(-，+)，该函数在定义域内二阶可导.,驻点为 x1=-1， x2 = 0，x3 = 1.,函数的极大值为 f (-1) = 1， f (1) = 1 极小值为 f(0) = 0.,解,例3,二、 函数的最值,求一个函数 y = f (x)在区间a, b上的最值,
4、 只需将函数在该区间的不可导点的值、驻点的值以及端点的值进行比较即可.,例1 求函数 y = 2x3 + 3x2 12x +14的在3, 4上的最大值与最小值.,解,计算,比较得,最值的实际问题,在讨论许多实际问题时, 可用下面两个结论.,(1) f (x)在区间a, b上连续, 在(a, b)内可导, 若 f (x) 0, 则 f (a)是最小值, f (b)是最大值; 若 f (x) 0, 则 f (a)是最大值, f (b)是最小值.,(2) f (x)在区间a, b上连续, 在(a, b)内可导, 在(a, b)内只有一个极值, 若该极值是极大值, 则它就是最大值; 若该极值是极小值,
5、 则它就是最小值.,实际问题最值的求解步骤:,(1)建立目标函数, 给出该函数的实际问题的定义域.,(2)求驻点,若目标函数在给出的定义域上只有唯一,驻点，且根据问题的性质就可以断定，该可导的目标,函数确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部,取得，则可以直接断定该点的函数值即为所求的最大,值或最小值.,例2 某汽车制造厂生产某种汽车，每小时生产x台的总成本为,独家经营，市场需求规律为x=75-3p (p为单价)问每小时生产多少台能获得最大利润？此时，单价是多少？,解 收益函数为,利润函数为,L(x)=TR(x)-TC(x),得 x =27(台),L最大(27)=224(万元)，,此时 , p=16(万元).,解 设,在设铁路上每公里的运费为3k,例3 铁路线上AB段上的距离为100km.工厂C距A处为20km，AC垂直于AB，为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省, 问D点应选在何处?,公路上每公里的运费为5k,从,点需要的总运费,即,解方程,由于,其中以,上求一点P,使曲线在P点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小.,例4 在曲线,解 设P点为,则过P点的切线方程为,得,所求三角形的面积为,是S(x)的极小值，也是最小值，,所求点为,
