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1、山 东 公 路 技 师 学 院 教 案 用 纸第二篇 画法几何第二章 点、直线和平面2-2-1 点的投影（一）教学目的掌握点的投影的形成、投影规律、点的投影与坐标间的关系。重点难点 掌握点的投影规律、点的三面投影的形成过程、点的投影与坐标间的关系。教学方法 讲授为主导入新课（5分钟）；讲授新课（70分钟）；小结（3分钟）作业布置（2分钟）。教学课时 2课时教学过程 复习提问1.投影规律（三等关系）是什么？导入新课点、线（直线或曲线）、面（平面或曲面）是构成形体的基本几何元素。而点又是构成线、面的最基本元素，所以首先从点开始介绍。讲授新课一、点的三面投影1.投影的形成图3-1 点的三面投影a）立
2、体图；b）投影图；c）去边框后的投影图在三面投影体系中，有一个空间点A，由A分别向三个投影面V、H和W引垂线，垂足a、a和 a即为A点的三面投影。如图3-1a)所示。点的投影符号规定：空间点用大写字母表示，如A、B、C等；H面用相应的小写字母表示，如a、b、c等；V面用相应的小写字母加“”表示，如a、b、c等；W面用相应的小写字母加“”表示，如a、b、c等；2.投影规律（1）点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴；点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴。即两投影的连线必垂直于相应的投影轴。如图3-1a)所示，由投射线Aa、Aa所构成的投射平面P(Aaaxa)与OX轴相交于ax点，因PV、P
3、H，即P、V、H三面投影互相垂直，由立体几何可知，此三平面的交线必互相垂直，即axaOX，aaxOX，aaxaax，故P面为矩形。当H面旋转至与V面重合时，ax不动，且aaxOX的关系不变，所以a、ax、a三点共线，即aaOX轴。同理，aaOZ轴。(2)点的投影至投影轴的距离，反映点至相应投影面的距离。如图3-1a)所示：点的H面投影至OX轴的距离，等于其W面投影至OZ轴的距离(即宽相等)，即：aax=aaz = Aa；点的V面投影至OZ轴的距离，等于其H面投影至OY轴的距离(即长对正)，即：aaz=aay=Aa；点的V面投影至OX轴的距离，等于其W面投影至OY轴的距离(即高平齐) ，即：Aa
4、x= aay= Aa。aax=aaz = Aa，反映A点至V面的距离；aaz=aay=Aa，反映A点至W面的距离；aax= aay= Aa，反映A点至H面的距离。此投影规律即“长对正、宽相等、高平齐”的根据所在。为了能更直接地看到a和a之间的关系，经常用以O为圆心的圆弧把aYH和aYW联系起来 (图3-1b)，也可以自O点作45的辅助线来实现a和a的联系。图3-2 已知点的两面投影求第三投影 图3-3 投影面上的点 a）立体图；b）投影图根据此投影规律，只要已知点的任意两投影，即可求其第三投影。例3-1已知一点B的V、W面投影b、b，求b(图3-2)。解(1)按第一条规律，过b作垂线并与OX轴
5、交于bx点。(2)按第二条规律在所作垂线上量取bxb = bzb得b点，即为所求。作图时，也可以借助于过O点作45斜线Obo，因为ObYHbobYW是正方形，所以ObYH = ObYW。图3-4 投影轴上的点a）立体图；b）投影图3.投影面上点投影面上的点，一个投影与空间点重合，另两个投影在相应的投影轴上。它们的投影仍完全符合上述两条基本投影规律。如图3-3所示，F点在V面上，M点在H面上，G点在W面上。4.投影轴上的点投影轴上的点，两个投影与空间点重合，另一个投影在原点上。如图3-4所示，A点在OX轴上，B点在OZ轴上，C 点在OY轴上。5.分角设想将V面、H面和W面向后、向下、向右扩展而将
6、整个空间划分为八个部分，称为八个分角。第一分角投影法是把物体放在投影面与观察者之间，其投影时的相对位置是：人物体投影面。第三角投影即把物体放在第三角进行正投影，这种方法假定投影面是透明的。投影时人、物体、投影面的相对位置是：人投影面物体。二、点的投影与坐标把三投影面体系看作直角坐标系，则把三个投影面看作坐标面，投影轴看作坐标轴，则点到三个投影面距离，就是点的坐标。点A到W面的距离为X坐标；A点到V面的距离为Y坐标；A点到H面的距离为Z坐标。点的每个投影反映两个坐标，点的三面投影与点的坐标关系为：（1）A点的H面投影a 可反映该点的X和Y坐标；（2）A点的V面投影a可反映该点的X和Z坐标； （3
7、）A点的W面投影a可反映该点的Y和Z坐标。例3-2：已知B(4，6，5) ，求作B点的三面投影。分析：作此类题主要根据点的投影规律及坐标。作图：方法步骤如图3-5所示。图3-5 已知点的坐标求作点的三面投影(1)作出三个投影轴及原点O，在OX轴上自O点向左量取4个单位，得到bx点(图a)；(2)过bx点作OX轴的垂线，由bx向上量取Z=5单位，得V面投影b，再向下量取Y=6 单位，得H面投影b(图b)；(3)过b作线平行于OX轴并与OZ轴相交于bz，量取bzb= Y= bxb，得W面投影b， b、b和b即为所求(图c)。 课堂总结点的投影规律、点的三面投影与坐标的关系。 作业布置1.习题集3-
8、1至3-4。2.点的投影规律是什么？3.点的投影与坐标间的关系。2-2-1 点的投影（二）教学目的掌握两点的相对位置、重影点及其可见性的判别。重点难点 两点的相对位置、重影点及其可见性的判别。教学方法 讲授为主导入新课（5分钟）；讲授新课（70分钟）；小结（3分钟）作业布置（2分钟）。教学课时 2课时教学过程 复习提问点的投影规律是什么？ 导入新课研究空间中两点存在着的前后、左右、上下的位置关系是这节课的主要内容。讲授新课三、两点的相对位置空间中的任两点间存在着的前后、左右、上下的位置关系。空间两点的相对位置是以其中某一点为基准，判别另一点在该点的前后、左右和上下的位置，这可由两点的三个坐标值
9、来确定，或者由两点的坐标差来确定。如图3-6所示，如以B点为基准，因为XA XB， Y A Z B，所以A点在B点的右、 后、上方。图3-6 两点的相对位置a）投影图；b）立体图；四 重影点及其可见性的判别当空间两点位于某一投影面的同一投影线上时，则此两点在该投影面上的投影重合，此两点称为对该投影面的重影点。为区别起见，凡不可见的投影其字母写在后面，并可加括号表示。重影点可见性的判别：对于重影点，必须判别其可见性，其判别方法概括为：（1）采用点对该投影面的坐标值来判断（其他两同名坐标对应相等），坐标值大者为可见点，小者为不可见点，如ZAZB,故A点为可见点。（2）采用投影方向来判断，先被投影到
10、的点为可见点，反之为不可见点。图3-7 重影点及其可见性的判别a）立体图；b）a、b点的投影图；c）c、d点的投影图；d）e、f点的投影图如图3-7a)、b)所示，A、B两点在同一垂直H面的投射线上，A点在B点的正上方；B点则在A点的正下方，a、b两投影重合，是对H面的重影点，但其他两同面投影不重合。a、b 两点的可见性，可从V面或W面投影进行判别：a高于b(或a高于b)，即A点在B点正上方，所以a为可见，b为不可见。如图3-7c)所示，C点在D点的正前方，位于V面的同一投射线上， c、d两投影重合，为对V面的重影点，c可见，d不可见；如图3-7d)所示，F点在E点的正右方，位于W面的同一投射
11、线上，e、两投影重合，为对W面的重影点，e可见，不可见。 课堂总结两点的相对位置、重影点及其可见性的判别。 作业布置1.习题集3-5、3-6。2.什么是重影点？其表示方法是什么？2-2-2 直线的投影（一）教学目的掌握一般位置直线、投影面平行线的投影特性。重点难点 一般位置直线、投影面平行线的投影特性。教学方法 讲授为主导入新课（5分钟）；讲授新课（70分钟）；小结（3分钟）作业布置（2分钟）。教学课时 2课时教学过程 复习提问1.什么是重影点？2.重影点表示方法是什么？导入新课由初等几何可知，两点确定一直线，故只要找出直线上任意两点的投影，连接其同面投影，即为直线的投影。我们通常把线段说成直
12、线，以后所讲的直线均为线段。按直线与投影面的相对位置可把直线分为：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线三种，后两种又称为特殊位置直线。讲授新课两点确定一条直线，画出直线上任意两点的投影，连接其同面投影，即为直线的投影。直线和它在某一投影面上的投影间的夹角，称为直线对该投影面的倾角。对H面的倾角用表示；对V面的倾角用表示；对W面的倾角用表示。根据直线与投影的相对位置，直线可分为：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线三种，后两种统称为特殊位置直线。一、一般位置直线对三个投影面均不平行不垂直的直线称为一般位置直线（简称一般线）。如图3-8，为一般位置直线的立体图和投影图。直线和它的某一投影面
13、上的投影所成的锐角，称为直线对该投影面的倾角。直线对H、V、W面的倾角分别用、表示。图3-8 一般位置直线 图3-9 各种位置直线a）立体图；b）投影图一般位置直线的投影特性：1.一般位置直线的三个投影都小于实长。如图3-8a)，ab = ABcos，ab=ABcos，ab= ABcos，而、和均介于0与90之间，cos、cos和cos均小于1。2.一般位置直线的三面投影都倾斜于投影轴，且各投影与相应投影轴的夹角，不反映直线对各投影面的真实倾角。如图3-8b)所示。如图3-9中，BF是一般位置直线。二 投影面平行线只平行某个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线，称为某投影面的平行线。与V面平行的
14、直线称为正面平行线，简称正平线。与H面平行的直线称为水平面平行线，简称水平线。与W面平行的直线称为侧面平行线，简称侧平线。如表3-1)所示。 投影面平行线表3-1投影面平行线的共性：1.直线在所平行的投影面上的投影反映实长，且该投影与相应投影轴所成之夹角，反映直线对其他两投影面的倾角。2.直线其他两投影均小于实长，且平行于相应的投影轴。图3-10 求水平线的三面投影例3-3已知水平线AB的长度为25mm，=30，A点的二投影a、a，试求AB的三面投影(图3-10 )。解(1)过a作直线ab =25mm，并与OX轴成30角；(2)过a作直线平行OX轴，与过b作OX轴的垂线相交于b；(3)根据ab和ab作出ab。 (4)根据已知条件，B点可以在A点的前、后、左、右 四种位置，本题有四种答案。 课堂小结一般位置直线、投影面平行线的投影特性。 布置作业1. 习题
