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1、第7章双线性变换下的结构特性的化映射7.1 导论在这一章中，我们要全面地给出一般的线性多变量系统在双线性和逆双线性变换下的结构特性的映射特性。我们将深入地探讨在双线性（逆双线性）变换下，一般的线性时不变多变量连续时间（离散时间）系统的有限和无限零点结构，以及可逆性结构是如何映射到离散时间（连续时间）系统的相应结构。和这一章相似的内容已经包含在本书第一作者以前的专著22中，那里应用了双线性变换和它们的结构映射特性的结果来求一般的Riccati方程的解和离散时间控制问题。但是在这一章中，我们要做的实际上是建立线性系统理论在连续时间域和离散时间域之间的桥梁。在第8章就会看到这一章的结果对解决另一个线
2、性系统问题也是有用的，即离散时间系统的分解。双线性和逆双线性变换在数字控制和信号处理中得到广泛应用。在22中已经证明双线性变换在离散时间控制的极优值计算，以及在寻找离散时间Riccati方程解中起着重要作用。这一章的结果最早出现在Chen和Weller 30中。实际上，对连续时间到离散时间模型转换的需求出现在许多工程领域，包括采样数字控制系统设计，数字信号处理。因此有许多离散化过程，包括输入的零阶和一阶保持器输入近似，脉冲不变变换，双线性变换（见7和55）。尽管双线性变换得到广泛应用，但是文献中关于连续时间系统的关键结构特性如何过渡到离散时间系统关键特性的全面研究却比较缺乏，如有限和无限零点结
3、构，可逆特性。我们知道无限和有限零点结构在控制系统设计中发挥重要作用，正确地理解双线性变换下的零点结构有助于设计采样数字控制系统，并且是对现有的零阶保持采样下的有限和无限零点结构映射的一种补充（参见6和60）。在这一章中，我们全面地的研究在众所周知的双线性（逆双线性）变换下，一般的连续时间（离散时间）线性时不变系统的结构是如何映射到离散时间（连续时间）系统的，即有限和无限零点结构，可逆结构，以及几何子空间。7.2 连续到离散时间系统的映射在这一节中，我们考虑以下一个连续时间线性时不变系统，表示为其中，和是具有适当维数的矩阵。不失一般性，我们假设矩阵和都是满秩的，有传递函数我们现在对上面的连续时
4、间系统应用双线性变换，用来代替（7.2.2）中的，其中是采样周期。如同（7.2.3）所示，双线性变换常称为Tustin近似7，而选择就产生了预畸变（Pre-warped）Tustin近似，此时连续时间和离散时间的频率响应在频率处相等。这样就得到离散时间系统下面的引理给出了的直接状态空间实现，55中有相似的结果。引理7.2.1 在双线性变换（7.2.3）下，（7.2.1）的连续时间系统的离散化结果的一个状态空间实现为其中或或很显然，在这里我们明显地假设在处没有特征值。证明 首先很容易验证如果我们引入，则可得是的状态空间实现，因此把（7.2.12）代入（7.2.10）可得因此有引理7.2.1的结果
5、。 下面的定理建立了和结构特性之间的相互联系，是这一章的核心内容。证明非常繁琐，所以为了清晰起见放在7.4节中。定理7.2.1考虑（7.2.1）的连续时间系统，由四元组来表示，其中在没有特征值。在双线性变换（7.2.3）下，（7.2.6）的离散时间系统由（7.2.7）的四元组来表示。我们有以下的特性： 1的可控（可镇稳定）和可观（可检测）性： （a）对是可控（可镇稳定）的，当且仅当对是可控（可镇稳定）的。 （b）对是可观（可检测）的，当且仅当是可观（可检测）的。 2非奇异状态，输出和输入变换，以及状态反馈和输出馈入律下的结果： （a）对任何给定的非奇异状态，输出和输入变换，和，四元组 是连续时
6、间系统 在双线性变换下所对应的离散时间系统。 （b）对于任何使得在没有特征值的，定义一个非奇异矩阵 和一个定常矩阵 则在（7.2.3）的双线性变换下，一个用 表示的连续时间系统就被映射成由所表示的离散时间系统。我们注意到是在增益矩阵为状态反馈律下所形成的闭环系统；是在增益矩阵为状态反馈律下，以及非奇异输入变换所形成的闭环系统。 （c）对任何使得在没有特征值的，定义一个非奇异矩阵 和一个定常矩阵 则在（7.2.3）的双线性变换下，一个用 所表示的连续时间系统被映射一个由所表示的离散时间系统。我们注意到是在增益矩阵为输出馈入律下所形成的的闭环系统；是在增益矩阵为输出馈入律，以及非奇异输出变换所形成
7、的闭环系统。 3的可逆和结构不变指数和列： （a），。 （b）是左（右）可逆的，当且仅当是左（右）可逆的。 （c）是（不是）可逆的，当且仅当是（不是）可逆的。 4的不变零点以及与此相关的结构由下面两个部分组成： (a)令的无限零点结构（阶次大于0）为 则是的一个不变零点，具有重数结构 （b）令是的一个不变零点，具有重数结构 则是离散时间系统的一个不变零点，具有重数结构 5的无限零点结构由以下两部分组成： （a）令，是的阶次大于0的无限零点总数，同时令为在的不变零点的几何重数，则我们有。 （b）令为给定连续时间系统的一个不变零点，具有重数结构 则离散时间系统有一个无限零点结构（阶次高于0） 6几
8、何子空间的映射满足： （a） （b）。证明 见第7.4节。 我们有下面两个有趣的推论。第一个是关于的最小和非最小相位特性，而第二个则是当采样周期趋向于零时（或等价地当）的渐近性质。推论7.2.1考虑一个连续时间系统和在双线性变换（7.2.3）下所对应的离散时间系统，则根据定理7.2.1中的4（a）和4（b），有 1的所有不变零点都在单位圆内，当且仅当的所有不变零点都在开左半平面，并且没有阶次高于0的无限零点； 2在单位圆上有不变零点，当且仅当在虚轴上有不变零点，和/或至少有一个阶次高于0的无限零点； 3在单位圆外有不变零点，当且仅当在开右半平面有不变零点。推论7.2.2考虑连续时间系统和在双线
9、性变换（7.2.3）下所对应的离散时间系统。则根据定理7.2.1，当采样周期趋于零（但是不为零）时，有以下的渐近特性：1没有高于0阶的无限零点，即从输入到输出没有延迟；2如果具有任何高于0阶的无限零点，则在有一个具有适当重数结构的不变零点。3如果还有剩余的不变零点的话，则趋向于点。有趣的是，和的稳定的不变零点相对应的的不变零点总是稳定的，并从单位圆内趋向于点。反过来，和的不稳定的不变零点相对应的的不变零点总是不稳定的，并且从单位圆外趋向点。最后，的虚轴上的不变零点总是被映射到单位圆上，趋向点。下面的例子演示了定理7.2.1的结果。例7.2.1考虑一个连续时间系统，四元组为和我们注意到上面的系统
10、已经是定理5.4.1的特殊坐标基的形式了。而且是可控，可观和可逆的，有一个0阶的无限零点，和一个2阶的无限零点，即。系统在和分别有两个不变零点，具有结构和。 1如果，我们得到一个离散时间系统，由矩阵四元组表示，其中 利用87的工具箱，我们发现确实是可控，可观和可逆的，有一个0阶的无限零点，和一个3阶的无限零点，即。在和也分别有两个不变零点，具有结构和。2如果，我们得到另一个离散时间系统，表示为和。这个系统它是可控，可观和可逆的，有一个0阶的无限零点，和一个1阶的无限零点，即。它在和也分别有两个不变零点，具有结构和，。 这与是符合定理7.2.1的结果相符的。7.3 离散时间到连续时间系统的映射我
11、们在这一节里给出和前一节相类似的结果，不同的是采用逆双线性变换把离散时间系统映射到一个连续时间系统。我们从离散时间线性时不变系统开始，表示为其中，和是具有适当维数的矩阵。不失一般性，我们假设和都是满秩的矩阵，有传递函数（7.3.2）的逆双线性变换可以用来代替而得到，即下面的引理和引理7.2.1相类似，给出了的状态空间实现。引理7.3.1 在逆双线性变换（7.3.3）下，（7.3.1）的离散时间系统被映射为连续时间系统，它的状态空间实现为其中或或这很显然，我们假设在没有特征值。下面的定理类似于定理7.2.1定理7.3.1考虑（7.3.1）的离散时间系统，用四元组来表示，其中矩阵在没有特征值。在逆
12、双线性变换（7.3.3）下，等价的连续时间系统（7.3.5）的由（7.3.6）的四元组表示。我们有下面的特性： 1的可控（可镇稳定）和可观（可检测）性： （a）对是可控（可镇稳定）的，当且仅当对是可控（可稳定）的。 （b）对是可观（可检测）的，当且仅当是可观（可检测）的。 2非奇异状态，输出和输入变换，以及状态反馈和输出馈入律下的结果： （a）对任何非奇异状态，输出和输入变换，和，四元组 是离散时间系统 在逆双线性变换（7.3.3）下所对应的连续时间系统。（b）对任何使得在没有特征值的，定义一个非奇异矩阵 和一个定常矩阵 则在逆双线性变换（7.3.3）下，由 所表示的离散时间系统被映射到由 所
13、表示的连续时间系统。注意到是在增益矩阵为状态反馈律下所形成的闭环系统；是在增益矩阵为状态反馈律，以及非奇异输入变换下所形成的闭环系统。 （c）对任何使得在没有特征值的，定义一个非奇异矩阵 和一个定常矩阵 则在逆双线性变化（7.3.3）下，由 所表示的离散时间系统被映射到由 所表示的连续时间系统。我们注意到是在增益矩阵为输出馈入律下所形成的闭环系统；是在增益矩阵为输出馈入律，以及非奇异输出变换下所成的闭环系统。 3的可逆和结构不变指数和列： （a）和。（b）是左（右）可逆的，当且仅当是左（右）可逆的。（c）是（不是）可逆的，当且仅当是（不是）可逆的。 4的不变零点和它们的结构有以下两部分组成：（a）令的无限零点结构（阶次大于0）为 则是的一个不变零点，具有重数结构（b）令是的一个不变零点，具有重数结构 则是连续时间系统的一个不变零点，具有重数结构 5的无限零点结构由下面两个部分组成： （a）令，令为高于0阶的无限零点总数，同时令为在不变零点处的几何重数，则有。 （b）令为给定离散时间系统的一个不变零点，具有重数结构 则有一个无限零点（高于0阶）结构 6几何子空间的映射满足： （a）。 （b）。证明 类似于定理7.2.1的证明。 我们用下面的例子来演示上面的结果。例7.3.1 考
