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1、第七章 直梁弯曲（2）, 课节74 组合截面的惯性矩 课节75 提高梁弯曲强度的措施 课节76 梁的变形和刚度计算 课节77 简单超静定梁的解法,问题引入：,脆性材料根据抗拉与抗压性能不同的特性，即+-,一般宜采用上、下不对称于中性轴的组合截面形状。,式中y+、 y-分别为受拉、压侧的截面边缘到中性轴的距离。, 课节75 组合截面的惯性矩,塑性材料为了充分发挥梁的弯曲承载能力，根据其抗拉与抗压性能相同的特性，即+=-,一般宜采用上、下对称于中性轴的组合截面形状。,弯曲正应力强度准则,即其强度准则为：,不对称截面惯性矩如何计算？需要研究组合截面的惯性矩。,静矩截面所有微面积dA对z轴一次矩的代数
2、和。,二、矩形截面惯性矩的计算,1.平行轴定理（右图） 以矩形截面为例，建立z1y1坐标系，求截面对z1轴的惯性矩,三、组合截面的惯性矩,一、惯性矩的物理意义,平行轴定理截面对其形心外某轴z1的惯性矩等于与之平行的形心轴zC的惯性矩加上截面面积与两轴距离平方的乘积。,确定积分变量dA,惯性矩截面所有微面积dA对中性轴z的二次矩之和。,解 ：1.将图形分为两个矩形 A1=12020mm2, A2=20120mm2。,3.过形心建立坐标系求惯性矩,2、组合截面的惯性矩 等于各简单图形面积对中性轴惯性矩的总和。即,2.选坐标c1z1y1，确定截面的形心坐标yc,例8-17 图示螺旋压板装置，已知工件
3、受到的压紧力F =3kN，板长为3a ,a=50mm，压板材料的许用应力=140MPa，试校核压板的弯曲正应力强度。,解 ：1.建立压板的力学模型,2.画压板的弯矩图,由弯矩图可见B截面有最大弯矩值,3.求抗弯截面系数 由组合截面惯性矩知，压板B截面的抗弯截面系数最小，其值为,4.强度计算,按有关设计规范，最大工作应力不超过许用应力的5%是允许的。即,所以，压板的弯曲正应力强度满足。,所以，大梁能够承受的最大起吊重量F=40.2kN。,例8-18 图示桥式起吊机大梁由32b工字钢制成，跨长l =10m，材料的许用应力=140MPa，电葫芦自重G=0.5kN,梁的自重不计，求梁能够承受的最大起吊
4、重量F。,解 ：1.建立起吊机大梁的力学模型 电葫芦移动到梁跨长的中点，梁中点C截面有最大的弯矩。,2.画起吊机大梁的弯矩图,3.查表确定抗弯截面系数得,4.强度计算 由 得,校核A截面上边缘拉应力强度,解：1.画梁的弯矩图求最大弯矩。,2. 校核强度,所以，铸铁梁的强度满足。,校核A截面下边缘压应力强度,2、组合截面的惯性矩 等于各简单图形面积对中性轴惯性矩的总和。,本课节小结,一、惯性矩的物理意义,惯性矩截面所有微面积dA对中性轴z的二次矩之和。,二、矩形截面惯性矩的计算,三、组合截面的惯性矩,1.平行轴定理截面对其形心外某轴z1的惯性矩等于与之平行的形心轴zC的惯性矩加上截面面积与两轴距
5、离平方的乘积。,确定矩形截面的积分变量dA=bdy进行积分。,课后作业：建筑力学练习册 练习二十三, 课节76 提高梁弯曲强度的措施,弯曲切应力简介,1.弯曲切应力 对于跨度较短而截面高的梁，以及一些薄壁梁或剪力较大的截面，则切应力就不能忽略。由弹性力学的分析结果知，剪力FQ在横截面上分布，即切应力计算公式为,式中Sz*表示距中性轴为y处横线外侧面积（图a阴影部分截面）对中性轴的静矩。,2.最大切应力 矩形截面 工字形 A0为截面腹板面积。,3.切应力强度计算 对于短跨梁、薄壁梁或承受较大剪力的梁，其弯曲切应力强度准则为,一、降低梁的最大弯矩,1.集中力远离简支梁中点,工程实例 1.支座内移的
6、方法支架起的容器罐。,2.将荷载分散作用,3. 简支梁支座向梁内移动,2.双杠支座内移支承。,此两例的支座合理安放位置留作课后思考题。,从弯曲正应力强度准则 可知：降低最大弯矩、提高抗弯截面系数，是提高梁弯曲强度的主要措施。,1.选择合理的截面形状 梁的合理截面形状通常用抗弯截面系数与截面面积的比值Z/A来衡量。,2. 根据材料性能选择截面,对于低碳钢一类的塑性材料，由于其抗拉性能与抗压性能相同，因此适宜选用(上图)上、下对称于中性轴的截面形状。,工程实际中要注意此类截面的安放位置，位置颠倒会大大降低梁的强度。,二、提高抗弯截面系数,对于铸铁一类脆性材料，由于其抗压性能显著大于抗拉性能，因此适
7、宜选用上、下不对称于中性轴的组合截面形状，,三.采用等强度梁,等截面直梁的尺寸是由最大弯矩max确定的，但是其它截面的弯矩值较小，截面上、下边缘点的应力也未达到许用应力，材料未得到充分利用。因而从整体来讲，等截面梁不能合理利用材料，故工程中出现了变截面梁。如摇臂钻的摇臂AB（图a）；汽车板簧（图b示）；阶梯轴（图c示）等。,等强度梁的截面尺寸随截面弯矩的大小而改变，使各截面最大应力同时近似地满足强度准则得：,本课节小结,弯曲切应力简介,截面上下边缘切应力为零，中性轴有最大切应力。 对于短跨梁、薄壁梁或承受较大剪力的梁，其弯曲切应力强度准则为,一、降低梁的最大弯矩,二、提高抗弯截面系数,1.选择
8、合理的截面形状 圆形矩形圆环框形工字形 2. 根据材料性能选择截面 塑性材料宜上、下对称于中性轴的截面形状。脆性材料宜上、下不对称于中性轴的组合截面形状。,1.集中力远离简支梁中点， 2.将荷载分散作用 3. 简支梁支座向梁内移动,三、等强度梁,课后作业：建筑力学练习册 练习二十四, 课节77 梁的变形和刚度计算,一、挠度和转角,任意x截面绕中性轴转动了一个角度， x截面形心产生了位移。,1.挠度 横截面形心在垂直于梁轴线方向的位移。挠度y向上为正，反之为负。,图示悬臂梁，作用外力F，其轴线弯成一条平面曲线。,2.转角 横截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正，反之为负,3.挠曲线方程 挠曲线表示
9、为截面坐标x的连续函数，即 y=f（x）,因横截面转角往往很小，所以（x）tan=f （x）称为转角方程，即梁的挠曲线上任一点的斜率等于该点处横截面的转角。,问题引入 图a轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，则轧的钢板薄厚不均，又如图b齿轮传动轴，若其变形过大，将会影响齿轮的正常啮合，产生振动和噪音，并造成磨损不均影响使用寿命等。因此梁还有刚度方面的要求。,二、用积分法求梁的变形,解：1.建立坐标确定弯矩方程,1.挠曲线近似微分方程 纯弯曲时挠曲线的曲率为 由数学分析可知，一平面曲线的曲率为 从而得出挠曲线近似微分方程为,2.用积分法求变形 对于等截面直梁有EIy(x) =(x) ,分离变量进行积分
10、，即得转角方程 ，挠曲线方程,2.列挠曲线近似微分方程并积分，得,3.代入积分常量 由边界条件，(0)=0,y(0)=0求积分常量代入得:,从此例见，挠度和转角都与荷载成线性关系。,三.用叠加法求梁的变形,例8-20 图示简支梁AB，试用叠加法求跨长中点的yC和A、B。,叠加原理,在复杂荷载情况下，用积分法较麻烦。因此工程实际中，用叠加法求梁的最大挠度和最大转角较方便。,解 ：梁上作用荷载可以分为两个简单荷载单独作用。,当梁上同时作用几个荷载时，梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和，这种方法称为叠加法。简单荷载作用下梁的变形表见附录B。,查变形表10、6叠加求代数和得,式中
11、 为最大相对挠度， 为许用相对挠度，其值可根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。土建工程中的许用相对挠度值 常限制在 范围内。,四.梁的刚度计算,设计梁时，除了进行强度计算外，还应考虑进行刚度计算，需要把梁的最大挠度和最大转角限制在一定的允许范围内。,y maxy， max,在土建工程中对梁进行刚度计算时，通常只对挠度进行校核，对转角一般不作校核。要求梁的最大相对挠度不超过许用相对挠度，梁的刚度设计准则为:,在机械工程中，往往要同时对挠度和转角进行校核，即要求:,解 1）求最大弯矩。,2）确定截面参数。,梁的刚度满足。,例8-21 图示简支梁，用32a工字钢制成，已知均布荷载q=8kN/m，
12、梁跨长l =6m，弹性模量E=200GPa，许用应力=170MPa，许用相对挠度 。试校核梁的强度和刚度。,画梁的弯矩图,得：,36kNm,查型钢表32a工字钢得：,Wz=692cm3 Iz=11100cm4,3)校核梁的强度。,梁的强度满足。,4)校核梁的刚度。,查变形表得该简支梁的最大挠度为,例8-22图示简支木梁，已知作用荷载F=3.6kN，梁跨长l =4m，木材的许用应力=10MPa，弹性模量E=10GPa，许用相对挠度 。试设计该木梁的截面直径d。,解 1）求最大弯矩。,2)按正应力强度设计。,梁的刚度满足。所以该木梁的直径取d=160mm。,画梁的弯矩图,得：,3.6kNm,查强度
13、准则,3)按梁的刚度准则校核。,查变形表得,得：,取d=160mm,本课节小结,四.梁的刚度计算,一、挠度和转角,二、用积分法求梁的变形,1.挠度 横截面形心在垂直于梁轴线方向的位移。 2.转角 横截面绕中性轴转过的角度。 3.挠曲线方程 挠曲线表示为截面坐标x的函数，即 y=f（x）,三.用叠加法求梁的变形,叠加法梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。,1.挠曲线近似微分方程 2.用积分法求变形,课后作业：建筑力学练习册 练习二十五, 课节78 简单超静定梁的解法,一、超静定梁,工程上为了提高梁的强度和刚度，或因结构上的需要，往往给静定梁再增加约束，这时梁就成为超静定梁。
14、多于静力学平衡方程个数的约束称为多余约束。,用静力学平衡方程不能求解出全部约束反力的梁，称为超静定梁,例如图示外伸挑梁,A端固定端约束，为使梁的承载能力有所增加，在B端用一根立柱支撑。这就是用增加多余约束的方法，使静定梁变成超静定梁。,3. 比较变形，使超静定梁求解。,二、超静定梁的解法,2.基本体系 将多余约束去掉，代之以约束力。得到的静定梁为基本体系。,1.选静定基础 去掉多余约束后的静定梁，称为原超静定梁的静定基础。,例8-22 以图示外伸挑梁的示意图为例，已知梁的EI、l，荷载F作用在梁跨中点，试求该梁的约束力，并画出梁的弯矩图。,解 1.先静定基础，建立基本体系。,2.比较B处的变形
15、,因y B=0，所以， 得出变形协调方程为,3.画受力图,列平衡方程求约束力得,4.画弯矩图,M图,3Fl/16,5Fl/32,3.比较变形,例8-23,解 1.选简支梁AB为静定基础。,4.画弯矩图, 求最大弯矩,5.求最大装配应力,2.建立静定梁的基本体系,得,图示三支点梁，跨度l=300mm，中间支座C的同轴度相差=0.05mm, 截面直径d=50mm，E=200GPa，试求梁截面上最大的装配应力。,本课节小结,一、超静定梁,二、超静定梁的解法,静定梁增加约束后，增加了多余约束力，不能用平衡方程求出全部约束力，称为超静定梁。,1.选静定基 去掉多余约束后的静定梁，作为原超静定梁的静定基 。 2.建立相当系统 将多余约束去掉，代之以约束力。就得到了静定梁的相当系统。 3.查变形表比较变形，使超静定梁求解。,课后作业：建筑力学练习册 练习二十六,
