信号分析与处理 第2版 教学课件 ppt 作者 赵光宙第6章 第4节 近代信号分析与处理

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1、*第四节 近代信号分析与处理简介,随着信号分析、处理对象和任务的更加复杂化，一些现代的更先进的信号处理理论和技术，如小波分析，智能化处理技术等越来越多地得到应用。下面简要地介绍一些目前在信号处理中应用得较为广泛的方法，它们是功率谱估计、自适应信号处理、时-频分析、小波分析等，为今后进一步学习该领域的知识打下初步基础。,一、 参数模型及功率谱估计 （一）平稳随机信号的参数模型 一个零均值的平稳随机信号 可以看成是一、二阶统计特性已知的白噪声 激励 一个确定的线性系统 的结果，如图6-13所示。图中 为平稳随机信号序列， 为零均值、方差等于 的白噪声序列， 或它的传递函数形式 是线性系统。只要知道

2、激励白噪声的功率和系统的参数，对随机信号的研究就可以转化成对模型参数和性质的研究，给研究工作带来了方便。,一般的模型传递函数 是一个有理分式，可以有三种不同的形式： 自回归（AR）模型 上式右边第一项取负号，只是为了后面的表示方便，不影响问题的实质，下面都有相同的表示。,图6-13 随机信号的参数模型,（6-166）,模型的传递函数是 这是一个全极点模型， 为模型的阶次。 2. 滑动平均（MA）模型 信号 完全由激励（包括现时值和过去值）决定，即 模型的传递函数是 这是一个全零点模型，为模型的阶次。,（6-167）,（6-168）,（6-169）,3. 自回归滑动平均（ARMA）模型 它是前两

3、种模型的结合，既考虑到信号过去 值对现时值的影响，又考虑到激励过去值和现时 值对信号现时值的影响模型的传递函数是 MA模型在表示随机信号时需要较多的参数，而ARMA模型在参数估计的运算时涉及非线性方程组。幸运的是 , MA模型或ARMA模型可以用AR模型逼近 。,（6-171）,（二）AR模型的性质 1Yule-Walker方程 阶AR模型如（6-166）式，即 将该式两边同乘以 ，再求均值 则得 其中， 。（6-172）式就是著名的Yule-Walker（Y-K）方程。它表明 阶AR模型所描述的信号的自相关函数只有 个是独立的，其余的都可以递推得到。令 ，将此方程写成矩阵形式，有,（6-17

4、2）,该方程表示了AR模型参数与自相关函数的关系，从方程可知，方程的系数矩阵的元素都是自相关函数，由它们组成的方阵的主对角线上的元素均为 ，又因自相关函数是偶函数，故该矩阵是对称阵，而且任何一条与主对角线平行的斜对角线上的元素都相同，这样的矩阵叫做Toeplitz型矩阵。可见，如果已知信号的自相关函数序列，就能解出AR模型的各个系数（ ）。,（6-173）,2预测误差滤波器 考虑一个 阶的线性前向滤波器 它与真值 之间存在预测误差 把 和 分别作为预测误差滤波器的输入和输出，对上式两边进行Z变换，就可得到该预测滤波器的传递函数,（6-174）,（6-175）,（6-176）,比较上式与（6-1

5、67）式，可发现预测滤波器的传递函数与AR模型的传递函数互为倒数。将它们分别表示在图6-14的（a）、(b)中，可见有 ，即预测误差滤波器的输出 就是AR模型的激励白噪声 。换言之，预测误差滤波器对观测数据 起着白化的作用。因此，预测误差的均方等于激励白噪的方差 ，而根据正交定理（见(6-117)式），预,图6-14 AR模型与预测误差滤波器,测误差的最小均方值 （上标为模型的阶数）为 所以有 Yule-Walker方程（6-173）和(6-178)式一起描述了AR模型的主要性质，而且可以把这两个式子合在一起，简洁地表示为,（6-177）,（6-178）,（6-179）,其中 。式（6-179

6、）称为AR模型的规范方程组。写成矩阵形式为 （三）AR模型参数的估计 模型的待估计参数包括参数 ，激励白噪的功率 及模型的阶次 。 模型的阶次的确定 阶次的确定是一个重要的问题，一般可以先为 设定一个阈值，随着阶次的递增逐次计算 ，当它下降 到低于阈值时的值作为模型阶次。,（6-180）,（1）最终预测误差判据： 使 达到最小的p值为模型的阶次，式 中为数据点数。 （2）信息量准则 ： 按性能指标 最小来确定p。 2. 模型系数和白噪功率的估计 对于系数 和白噪功率 的估计，如果有了信号自相关函数的先验知识，则只要解Yule-Walker方程和（6-178）式（或规范方程组）就可得到。,（6-

7、181）,（6-182）,L-D算法是一种阶次逐次增一的递推算法，“阶次逐次增一”是指模型阶次由1开始运算，逐次增大，直到 阶为止。“递推算法”是指每次由低一阶的参数推算出高一阶的参数。其算法步骤为： （1） 初始化 取 时的规范方程组 式中， 的上标表示模型的阶次，可解得,（6-183）,（6-184）,（2） 递推 对于已经算出 的阶的系数 （ ）和 ，满足 阶规范方程组 简记作 由于 是对称的Toeplitz矩阵，具有广义的对 称性，因此可把上述 阶模型规范方程组写成,简记为 同时注意到，对于 阶模型的自相关矩阵 设,如能找到合适的反射系数 ，就能由上式得到 的递推式子。用 左乘上式，等

8、式左边为 等式右边第一项为 . 其中,（6-185）,而等式右边第二项不考虑 因子部分为 所以有 即,可求出 及 并根据前面的推导，有 由式（6-183）（6-189）就可以完成L-D算法的初始化和递推运算过程。用L-D算法得出的AR模型有以下特点 （1）所得模型必定稳定。即 的根都在单位圆内。,（6-186）,（6-187）,（6-188）,（6-189）,（2）均方预测误差 随着阶次的升高而下降， 这是因为可以证明反射系数 ，由式（6-187） 有 。实际上， 可以 看成是用 阶模型对 作预测 （ ）的预测误差。如果信号确实 来自 阶AR模型，则当模型阶次升高到 阶后， 将等于零，因而有

9、，从而有 ，阶次将不再升高。 （3） 由于L-D算法的递推功能，不仅减少了计 算量 ，还能与上述模型阶次 的确定方法结合起来，给模型确定带来方便。,（四）功率谱估计的参数模型方法 既然随机信号 被视为白噪声 激励线性系统 的结果，如果已知白噪声 的功率谱为 ，AR模型为 显然，根据（681）式，信号的功率谱为 这就是应用AR（p）参数模型进行信号谱估计的公式，称为AR谱估计，与经典的谱估计相比较，它具有平滑、所需观测数据较少等优点。,（6-190）,二、 自适应信号处理 一个系统其参数能随着条件的变化自行调整（自我优化），则称它为自适应系统，如自适应辨别系统、自适应均衡器等。用这种系统对信号进

10、行加工、变换，则称为自适应信号处理。各种不同形式的自适应信号处理又可以统称为自适应滤波。 实现自适应滤波有IIR和FIR两种滤波器，广泛使用的是自适应FIR滤波器，因为FIR只需调节其零点，而IIR参数的调节除了零点外还有极点，同时还要考虑稳定性问题。,设计可变参数自适应滤波器有许多不同的准则和算法，常用的有随机梯度法（即最小均方估计Least-Mean-Square，简记为LMS估计）和递归最小二乘估计法（Recursive Least Square，简记RLS估计）,图6-15 自适应滤波器的结构原理图,下面先介绍求解维纳霍夫方程的一种迭代方法最速下降法。最速下降法本身已有一定的自适应功能

11、，但作为自适应滤波的方法并不实用，只是在原理上有其价值。在最速下降法的基础上稍作变化就可以得到更为实用的自适应滤波方法。 （一）最速下降法 令观测值组成的矢量为 ， 处理器各系数组成的矢量为 ， 此时，处理器的输出为,与理想响应 之间的误差定义为 有 所以 式中， 是 延迟值为0 时的自 相关矩阵； 是 与 间 当的延迟 值为0 时的互相关系数矢量； 是理想响 应 的均方值 。 最速下降法的基本思想是使均方差 沿着变化率最快的方向到达它的最小值。,在矢量分析中，用关于的各分量的偏导 数构成向量 ，又称 为的梯度，表示为 在 处的梯度向量 的方向是 的值在 附近增加最快的方向，在误差性能曲线上即

12、为（ ， ）点处最陡的方向。如果取负号也就是下降最快的方向，所以梯度下降法又称为最速下降法 现在寻求趋于零矩阵的条件。,（6-192）,根据线性代数知识，相关矩阵R作为一个对称半正定阵，它的p个特征值 都取非负值，它们所对应的特征向量 构成p阶正交阵 记 构成的p阶对角阵为 则有,（6-203）,（6-204）,所以 其中应用了Q的正交性 ，因此有 将上式代入（6-202）式，可得 令 则由Q的正交性 ，有 所以 完全等价于 。将（6-209）式代入式（6-208），可得,（6-206）,（6-207）,（6-208）,（6-209）,（6-210）,即 只要 就必定有 式（6-213）的条件

13、改写一下，就是 和 都是正数，所以上式等价于,（6-211）,(6-212),（6-213）,（6-214）,（6-215）,满足公共条件的 应为 式中 表示R的最大特征值。可见， 取值在满足式（6-216）的条件下， 将最终收敛于维纳滤波因子 。从式（6-216）中也可看到， 的取值与自相关矩阵有关，一般应取适当的小值，但太小了又会影响收敛速度。,（6-216）,（二）最小均方（LMS）自适应滤波 最速下降法看上去有着良好的收敛性质，但 由（6-198）可知，在每一次迭代过程中，都需要 预先知道R和P，即 的自相关结构 和 跟之间的互相关结构，才能实现均方差 最小 化，这在实时运算中是很难实

14、现的。 最小均方自适应滤波算法的基本步骤如下： （1）确定 的初始值 或 ； （2）计算滤波器实际输出值 ； （3）计算误差值 ；,（4）计算n+1时刻的滤波系数 ； （5）将n增为n+1，反复运算步骤。 LMS自适应滤波算法与最速下降法比较，已没有矩阵乘向量的计算，运算要简单得多。但收敛性的分析却远比最速下降法要复杂，其原因主要是瞬时估计的随机性造成的。 LMS自适应算法是以瞬时梯度下降法为基础，推导出系数矩阵的递推公式，运算比较简单，易于实时处理。但是，LMS算法只有一个可供调整收敛速率的参数，由于收敛步长受到稳定性约束，导致它的收敛速度较慢。为此，人们又提出了更为复杂的RLS算法，即递归

15、最小二乘法，它利用最小平方准则取代基于均方差准则的方法，克服了收敛速度较慢和对非平稳信号的适应性差的缺点。,（三）递归最小二乘（RLS）自适应滤波 与LMS一样，令观测值组成的矢量为 ，处理器各系数组成的矢量为 。 处理器输出为 与理想响应 间的误差 要求选取 使误差平方和最小,(6-232),(6-234),这就是问题的最小二乘法提法。值得注意的是，最小二乘法（Least Square，简记LS）与最小均方（Least Mean Square，简记LMS）的含义是不同的，后者的最小化指标的是误差的均方 ，它是在总体意义下的最小化，而前者是用单一的样本在时间意义的最小化。后者隐含着被处理信号是平稳的随机过程，前者则是把单一实现当作确定性过程来看待或把被处理信号看成是各态遍历的随机过程。 令 则有 即,（6-235）,自适应滤波一般