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1、 关节十六 应用性问题（含“方案”确定）解法研究1、应用性问题思考与解答的过程，最主要的特点就是：由现实情意（非数学），抽象概括出数学问题，进而解决数学问题，使原问题获解。其中的“由非数学到数学”是最为关键的一步。2、“由非数学到数学”，就是将实际问题归属到对应的数字模型，是化归思想的典型表现，绝大多数情况下，或化归到函数模型，或化归到方程（不等式）模型，或化归到基本图形（特别是直角三角形）模型，或者以上的综合，因此，可以这样说：解应用性问题的能力实质就是“化归到数学模型”的能力。一、化归到方程（不等式）模型或函数模型凡涉及到数量关系的实际问题，绝大多数都要化归为方程或函数来解决。1、关键是要
2、有深刻的“方程思想”和“函数思想”例1 某高速公路收费站，有辆汽车等候收费通过，假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车量数）保持不变，每个收费窗口的收费速度也是不变的。若开放一个收费窗口，则需要20分钟才能将原来来排队等候汽车及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则需8分钟也可将原来排队等候的汽车已及后来接上来的汽车全部收费通过，若要求三分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问：至少同时开放几个收费窗口？【观察与思考】第一，关键是要求出每分钟新来的汽车为多少辆，以及每个窗口每分钟可收费通过多少辆汽车，就是要求这些“未知数量的值”，当然考
3、虑去构造方程。第二，题目中开放一个收费窗口和开放两个收费窗口情况的斜述就是两个构造方程可依据的等量关系。解：设每分钟新来的汽车辆，每个窗口每分钟收费通过辆汽车，则解和设需开放个窗口，使在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，则 ， 解得。因为窗口个数为正整数，所以需开窗口5个。用方程解决实际问题，从思考与实施来看，分为这样的三个衔街的步骤：步骤、从定向上确认这是一个化归到方程的模型问题，即知道是用方程；步骤、根据已给出条件或隐含关系布列出相应的方程；步骤、通过解方程解决原来的实际问题。A B例2 小杰到学校食堂买饭，看到A，B两个窗口前排队的人一相样多（设
4、为人，），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所需的时间是多少（用含的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口的所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求的取值范围（ 不考虑其它因素）。【观察与思考】首先认识到：小杰无论是在A窗口还是在B窗口排队，他到达窗口所需的时间都决定于已排队的人数，因此，本题实际上是个“函数”问题；其次， 这两个函数都好求出，即表示成的代数式；最后，借助于两
5、个函数（即两个代数式）的关系，求出自变量的取值范围。解：（1）；（2）若此时转到B窗口，则到窗口时共用时间：；令，解得。的取值范围为。当时，小杰到B窗口比在A窗口用的时间少。【说明】本题中两个代数式的建立，是“函数思想”的一种体现。例3 王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60的正方形板子，另一块是上底为30，下底为120高为60的直角梯形板子（如图（1），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形所围成的区域（如图（2），由于受材料纹理的限制，要求裁处的矩形要以点B为一个顶点。（1）利用图
6、（2）求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？（2）若想裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。AEDFGCB（2）（1）【观察与思考】在搞清背景图形各有关数量的情况下，对于问题（1），需对三类矩形的面积做比较（如图2），而其中的矩形的面积显然是的函数，因此，本题的核心是建立出这个函数并求其最大值。对于（2），从变动的矩形中确定出正方形，自然也要借助上述函数。解：（1）在图（2）中，易知，且 ，。当点B所对的顶点到BC的距离为60时（即该顶点在线段AE上，），这些矩形中面积最大的就是矩形，其面积等于（）当点B所对的顶点到BC的距离等于或小于40
7、时，且该顶点在FC上，显然，在这些矩形中，面积最大的就是矩形，AEDFGCBQPMRN当点B所对的顶点Q在线段EF上时，矩形为，。，即。（2）。可知当时，的面积最大为。此时的点Q即为点F。综上可知：当时，也即矩形为时，面积最大为。（2）面积最大的正方形应当在（1）中的矩形中，这时应有，解得（舍去），。面积最大的正方形的边长为。【说明】在本题，及时地认识到并正确地建立出矩形的面积关于的函数，是获解的关键。例4 一园林设计师要使用长度为4的材料建造如图（1）所示的花圃。该花辅是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图（2）所示。它是以 点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围
8、成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大。（1）求使图（1）花圃面积为最大时的值及此时花圃面积，其中分别为大圆和小圆的半径。（2）若，求使图（2）面积为最大时值。【观察与思考】在图（2）中，扇环图形的周长是确定的，所以其圆心角和扇形的面积S都随值的确定而确定，因此，他们都是的函数！认清楚了这一点，剩下的问题都可依几何计算和函数的性质来解决了。（1）（2）解：（1）若使形如图（1）花圃面积为最大，则必定要求图（2）扇环面积最大。设图（2）扇环的圆心角为，面积为S，根据题意得：。式中在时为最大，最大值为。花圃面积最大时的值为，最大面积为。（2）当时，S取值最大。（度）。【说明】在本题，能否认识
9、到S是的函数，是解法能否启动的关键！我们年，用函数解决实际问题，从思考与实施来看，也可分为三大步骤：步骤、从解法定向上认定这是一个函数问题，即要化归到函数模型。步骤、列出函数关系系的表达式。步骤、利用列出的函数的性质解决实际问题。2、关于数量关系的方案问题数量关系的方案问题，更多的是函数与不等式的结合运用。“方案问题”其核心是在若干种可供选择的处理方法中，找出最优的方案来。“最优”反映在数学中，大多就是“最大”或“最小”。解决方案问题，根据问题的类型之特点，基本上可分为四种方法：列举法：“函数不等式的整数解”“不等式组的整数解”；“两个函数比较”法。（1）列举法所谓“列举法”，就是把可选择的方
10、案悉数列出，然后根据要求从中确定出“最优者”，在可选择的方案数量有限、且容易全部确定的情况下，易采用这种方法。例5 为了提高土地的利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，这样种植的方法可将土地每亩的总产量提高40%。右表是三种农作物的总产量、销售单位及种植成本的对应表：现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例，要求小麦的种植面积占整个种植面积的一半。（1）在保证小麦种植面积不变的情况下，玉米、黄豆的种植面积小麦玉米黄豆亩产量（千克）400680250销售单价（元/千克）212.6种植成本（元/亩）20013050均不得低于一亩，且两种
11、农作物均以整亩数种植，三种农作物套种的种植亩数，有哪几种种植方案？（2）在（1）中的种植方案中，采用哪种套种方案，才能使总销售价最高？最高价是多少？（3）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案，才能使总利润最大？最大利润是多少？（总利润总销售价总成本）【观察与思考】对于问题（1）、（2）、（3）均用列举法，把相应的方案列出来，然后根据要求，选定“最优者”。解：（1）将种植方案可以列举出来，如下： 方案 一二三四小麦亩数5 555玉米亩数 1 2 34黄豆亩数 4 3 21（2）先列举出每种方案对应的销售总价： 方案 相应的总销售价方案一方案二方案三方案四采用方案四，即小麦5亩，玉米4亩，黄豆
12、1亩，可使总销售价最高，为7370元。（3）列举出各方案对应的总利润： 方案 相应的总利润方案一方案二方案三方案四采用方案一，即小麦5亩，玉米1亩，黄豆4亩，可使总利润最高，最高利润为5950元。【说明】由本题可以看出：方案的列举，以遵循某个顺序为好，如（1）中“按玉米亩数递增”为序；相应地，（2）中“总销售价”也递增；（3）中的“总利润”递减，这就这最佳方案的选择提供了更大的方便。（2）化归为“函数不等式的整数解”例6 某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念
13、品。已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册。（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？【观察与思考】对于问题（1），可借构造方程组来解决；对于问题（2），可先列出购买文化衫和相册所用的总钱数关于购买文化衫的数量的函数的关系式，再由对总钱数（函数值）的范围限制，得出相应不等式的整数解（购买文化衫的件数），从而把可行的方案找出来，再从中确定出要求的方案。解：（1）设文化衫和相册的价格分别为元和元，别解得答：文化衫和相册的价格分别为35元和26元。（2）购买文化衫件，则购买相册本，则
14、共需用钱（元）为，根据题意有：。解得。为正整数，即有三种方案。第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元。第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元。第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元。所以第一种方案用于购买教师纪念品资金更充足。【说明】对于本题的问题（2），虽然没有明确要求写出购买文化衫和相册总钱数关于购买文化衫数量间的函数关系式，但它却是本问题解决的核心基础，由此可以看出，许多“不等式问题”实际是建立在“函数”的基础上的，问题（2）的解决方案可称为“函数不等式的整数解”的确定方案的方法。例7 某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元。（1）该公司有几种进货方案？（2）该公
