《高等数学——6.1平面图形的面积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学——6.1平面图形的面积（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,61 平面图形的面积,一、定积分的元素法,二、在直角坐标情形下求图形的面积,三、在极坐标情形下求图形的面积,一、 定积分的元素法,设yf (x)0 (xa，b),是以a，b为底的曲边梯形的面积,一、 定积分的元素法,设yf (x)0 (xa，b),A(x) f (t)dt,A(x) f (t)dt是以a，x为底的曲边梯形的面积,A= f(x)dx 是以a，b为底的曲边梯形的面积,曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f (x)dx，,点x处，高为f (x) 、宽为dx的矩形的面积为：f (x)dx,DAf (x)dx，且DAf (x)dxo(dx),f (x)dx称为曲边梯形的面积元素,以a
2、，b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f (x)dx为 被积表达式，以a，b为积分区间的定积分：,A(x) f (t)dt,A f (x)dx,一般情况下，为求某一量U (不一定就是面积，即使是面积 也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间a，b上的 函数U(x)，再求这一量在a，b上的元素 d U(x)， 设d U(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以a，b为积分区 间求定积分即得,用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法),U u(x)dx ,二、在直角坐标情形下求图形的面积,求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的
3、面积,面积元素为：,所求图形的面积为：,f 上(x)-f 下(x)dx,A= f 上(x)-f 下(x)dx,讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？,A1=A2= f 上(x)-f 下(x)dx,A3 = f 右(x)-f 左(x)dx,a,b,求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积：,所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差,y=f 上(x),y=f 下(x),A= f 上(x)dx,- f 下(x)dx,例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积,解 在区间0, 1上过x点且垂直于x
4、 轴的直线左侧的面积记 为A(x)，,于是面积元素为,得所求的图形面积,以0, 1为积分区间求定积分,直线平移dx 后所产生的面积的改变量近似为,A(x),DA ( x 2)dx ，,以( x 2)dx为被积表达式，,dA = ( x 2)dx ，,例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积,解,画图,求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4),将图形向 y 轴投影得区间2，4,A(y)为区间2，4上过y点且垂直于 y轴的直线下侧的面积,直线平移dy 后所产生的面积的改变量近似为,于是面积元素为,所求的图形面积为,DA (y 4 y2)dy ，,dA = (y 4 y2)dy ，,y 2=2x,y=x-4,(8, 4),(2, -2),解,设椭圆在第一象限的面积为A1，,则椭圆的面积为A4A1,第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为0，a,因为面积元素为ydx，,于是,A 4A1 a b,所以,三、在极坐标情形下求图形的面积,曲边扇形及曲边扇形的面积元素：,由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形,曲边扇形的面积为,曲边扇形的面积元素：,例4 计算阿基米德螺线ra (a 0)上相应于从0变到2 的 一段弧与极轴所围成的图形的面积,解,2pa,ra,d,例5 计算心形线ra(1cos ) (a0) 所围成的图形的面积,解,ra(1cos ),2a,)q,dq,
