《建筑力学 教学课件 ppt 作者 周任 徐广舒 建筑力学 第15章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《建筑力学 教学课件 ppt 作者 周任 徐广舒 建筑力学 第15章（118页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第15章 超静定杆系结构的计算力法,内容提要 力法是超静定结构的基本计算方法之一。本章介绍了力法的基本原理、基本未知量、基本体系及根据变形协调条件如何建立力法方程，重点讨论了用力法计算超静定梁、超静定刚架和超静定桁架、排架等问题，并介绍了利用结构的对称性简化计算的方法。,15.1 力法的基本原理,前面各章已讲述了静定结构的内力和位移计算方法。但在实际建筑工程中，大多数的结构为超静定结构，它是具有多余约束的几何不变体系，其支座反力和内力仅用静力平衡条件不能全部确定。 超静定结构的最基本计算方法有两种，即力法和位移法。本章讲述的内容就是力法。,15.1.1 力法的基本体系,图15-1(a)所示一端
2、固定，一端铰支的梁，承受荷载q的作用，EI为常数。该梁有一个多余约束，是一次超静定结构。若将支座B看作是多余约束，在去掉该约束后，代之以相应的多余未知力X1，则图15-1(a)所示的超静定梁就转化为图 15-1(b)所示的在荷载q和多余,未知力X1共同作用下的静定梁。这种去掉多余约束，用多余未知力来代替后得到的静定结构体系称为用力法计算的原结构的基本体系。,15.1.2力法的基本未知量,如果设法把多余未知力X1计算出来，那么，原来超静定结构计算问题就可以转化为静定结构的计算问题。因此，计算超静定结构的关键就在于求出多余未知力。多余未知力是最基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。这个基本未知量
3、X1不能用静力平衡条件求出，而必须根据基本体系的受力和变形与原结构一致的原则来确定。,15.1.3 力法的基本方程,我们来分析原结构和基本体系的变形情况。原结构在支座B处由于有多余约束而不可能有竖向位移，而基本体系在荷载q和多余未知力X1共同作用下，在支座B处的竖向位移也只有等于零时，才能使基本体系的变形情况与原结构的变形完全一致。所以，用来确定多余未知力X1的位移条件是：基本体系在原有荷载和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处的位移1(沿X1方向的位移)与原结构中相应的位移相等。即 1=0,图15-1(c)、(d)所示，以11和1p分别表示多余未知力X1和荷载q单独作用在基本体系时，B点沿
4、X1方向的位移。根据叠加原理，应有 1=11+1p=0 符号右下方两个角标的含义是：第一个角标表示位移的位置和方向；第二个角标表示产生位移的原因。例如：11表示在X1的作用点，沿着X1的作用方向，由X1所产生的位移；1p表示在X1的作用点，沿着X1的作用方向，由外荷载q所产生的位移。,若以11表示X1为单位力(X1=1)时，基本体系在B点处沿X1方向产生的位移，则有11=11 X1。因此，可以把上面的位移条件表达式改写为 11X1+1p=0 (a) X1=-1p/11 (b) 式(a)就是根据原结构的变形条件建立的用以确定X1的变形协调方程，即力法的基本方程。,因11、1p都是静定结构在已知外
5、力作用下的位移，故均可用求静定结构位移的方法求得，从而多余未知力X1的大小和方向，可由式(b)确定。如果求得的多余未知力X1为正值，说明多余未知力X1的实际方向与原来假设的方向相同；如果求得的多余未知力X1为负值，则实际方向与原来假设的方向相反。,为了计算位移11和1p，可分别绘出基本体系在X1=1和荷载q作用下的弯矩图和Mp，如图15-2(a)、(b)所示。用图乘法计算11和1p时，和Mp图分别是基本体系在X1=1和荷载q作用下实际状态下的弯矩图，同时，图又可理解为求B点竖向位移时的基本体系虚设状态下的弯矩图。故计算11时可利用图与图图乘(图自乘)，得,11=1(l2/22l/3)/EI =
6、l3/3EI 计算1p时可由图与Mp图图乘，得 1p =-(l/3ql2/23l/4)/EI =-ql4/8EI 将所求得的11和1p代入式(b)，即可求出多余未知力X1的值为 X1=-1p/11=-(-ql4/8EI)/ (l3/3EI)=3 ql/8() 求出多余未知力X1后，将X1和荷载q共同作用在基本体系上，利用静力平衡条件就可以计算出原结构的反力和内力。,原结构上的弯矩图M可根据叠加原理，按下列公式计算，即 M=X1+Mp 应用上式绘制原结构的最后弯矩图M时，可将图的纵标乘以X1倍，再与Mp图的相应纵标叠加，即可绘出M图。如图15-2(c)所示。,按照以上分析计算超静定结构的内力，基
7、本思路是：先去掉多余约束而得到静定的基本体系，以多余未知力作为基本未知量，然后根据基本体系与原结构在去掉多余约束处具有相同的变形状态这一位移条件，建立基本方程，解此方程求出多余未知力，最后利用平衡条件或叠加原理，求内力并绘内力图。这样就把超静定结构的计算问题，化为静定结构内力和位移的计算问题，这种方法称为力法 。,15.1.4 力法的典型方程,我们通过上例中只有一个基本未知量的超静定结构的计算，初步了解了力法的基本原理。下面将进一步讨论怎样建立多次超静定结构的力法方程。,图153,图15-3(a)所示为一个二次超静定结构，在荷载q作用下结构产生的变形如图中虚线所示。用力法求解时，去掉支座C处的
8、二个多余约束，并以相应的多余未知力X1和X2来代替，则得到图15-3(b)所示的基本体系。由于原结构在固定铰支座C处的二个方向不可能有任何位移，因此，基本体系在荷载q和多余未知力X1、X2共同作用下，沿多余未知力X1、X2方向的相应位移1、2都应等于零。即,1=0 2=0 上式就是建立力法方程的位移条件。 根据叠加原理，将图15-3(b)分解为图15-3(c)、(d)、(e)三种情况，分别表示基本体系在多余未知力X1、X2和荷载q单独作用下的受力和变形。,在图15-3(c)中，在X1作用下，C点沿多余未知力X1、X2方向的位移分别用11和21表示；在图15-3(d)中，在X2作用下， C点沿多
9、余未知力X1、X2方向的位移分别用12和22表示；在图15-3(e)中，当外荷载q单独作用时，C点沿多余未知力X1、X2方向的位移分别用1p和2p表示。,则可将基本体系满足的位移条件表示为,设ij 为i方向的单位力在作用点处引起的j方向位移，则有：,ij=ijXj,(15-1),式(15-1)就是求多余未知力X1、X2时所需建立的力法方程。其物理意义是：基本体系在全部多余未知力和荷载的共同作用下，在去掉各多余约束处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构中相应的位移相等。,用以上同样的分析方法，对于n次超静定结构，用力法计算时，它具有n个多余未知力，相应地也就有n个已知的位移条件：i=0(i=1，
10、2，n)。根据这n个已知的位移条件，可以建立n个力法方程：,1=11X1+12X2+1iXi+1nXn+1p=0 2=21X1+22X2+2iXi+2nXn+2p=0 i=i1X1+i2X2+iiXi+inXn+ip=0 n=n1X1+n2X2+niXi+nnXn +np=0 解此方程组，即可求出多余未知力Xi(i=1，2，n)。 在以上方程组中，主斜线(自左上方的11至右下方的nn)上的系数ii称为主系数，,它是单位多余未知力Xi =1单独作用在基本体系时所引起的沿Xi其自身方向上的位移，可利用图自乘求得，其值恒为正，且不会等于零。位于主斜线两侧的其它系数ij(ij)，则称为副系数，它是单位
11、多余未知力Xj =1单独作用在基本体系时所引起的沿Xi方向上的位移，可利用与图图乘求得。各式中最后一项ip称为自由项，它是荷载单独作用在基本体系时所引起的沿Xi方向上的位移，可利用与Mp图图乘求得。副系数和自由项的值可能为正、负或零。根据位移互等定理可知，在主斜线两侧处于对称位置的两个副系数ij和ji是相等的，即 ij=ji,上述力法基本方程在组成上具有一定的规律，并有副系数互等的性质，故称为力法的典型方程。 按求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由项后，代入方程即可解得多余未知力Xi，再按照静定结构的分析方法，利用静力平衡条件，求得原结构的全部反力和内力。或按下述叠加公式求出任一截面
12、的弯矩 求出弯矩后，由平衡条件求其剪力和轴力。,15.2 用力法求解超静定梁和刚架结构,根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下： 1.判断超静定结构的次数，去掉多余约束，并代之以相应的多余未知力，得到一个静定的基本体系； 2.根据基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，在所去掉多余约束处的位移应与原结构各相应位移相等的条件，建立力法的典型方程； 3.作出基本体系中各未知力的单位力弯矩图和荷载弯矩图，按求静定结构位移的方法计算典型方程中的系数和自由项；,4.解典型方程，求出各多余未知力； 5.按分析静定结构的方法，由静力平衡条件或叠加法求得最后内力； 6.绘制原结构最后内力图。,15.
13、2.1 超静定梁,【例15-1】试分析图15-4所示的梁，EI=常数。 解：(1)确定超静定次数，选取基本体系。,此梁有一个多余约束，是一次超静定梁。去掉B处的多余约束，并用X1代替支座链杆B的作用，得到如图15-4(b)所示的基本体系。 (2)建立力法典型方程。 原结构在支座B处的竖向位移1=0，根据位移条件可得力法方程为 11X1+1p=0,(3)作基本体系的单位弯矩图和荷载弯矩图，如图15-4(c)、(d)所示。利用图乘法计算方程中的系数和自由项。 11=1(l2/22l/3) /EI =l3/3EI 1p =-1(l/2l/2Pl/2(2l/3+1/3l/2)/EI =- 5Pl3/4
14、8EI (4)求多余未知力X1。,将11 、1p代入典型方程，有 (l3/3EI)X1-5Pl3/48EI=0 解方程得：X1=5P/16() (5)根据叠加原理：，绘制梁的弯矩图。如图15-4(e)所示。 求出弯矩后，再由平衡条件求出其剪力，并作剪力图。如图15-5所示。,图15-5(a)中，由MA=0，得： FSBAl-Pl/2+3Pl/16=0 FSBA=5P/16 由FY=0，得： FSAB+5P/16-P=0 FSAB=11P/16,【例15-2】用力法计算图15-6所示的超静定梁，绘出弯矩图，EI=常数。 解法(一)：(1)确定超静定次数，选取基本体系。,此连续梁为一次超静定结构。
15、去掉B处的多余约束，并用X1代替支座链杆B的作用，得到如图15-6(b)所示的基本体系。 (2)由已知B点的位移条件，建立力法典型方程为 11X1+1p=0 (3)作基本体系的、Mp图，如图15-6(c)、(d)所示。利用图乘法计算方程中的系数和自由项。 11=2(1/2l/2l2/3l/2) /EI =l3/6EI 1p =-2(l/2q l2/4l2/3l/2) /EI - 1(2/3ql2/8l1/2l/2) /EI =- 5ql4/48EI,(4)求解多余未知力X1。 将11 、1p代入典型方程，有 (l3/6EI)X1-5ql4/48EI=0 解方程得：X1=5ql/8() (5)根据叠加原理：，求梁各截面的弯矩值，并绘制最后弯矩图。如图15-6(e)所示。,解法(二)：(1)确定超静定次数，选取基本体系。 此连续梁为一次超静定结构。将B截面切断，加入单铰，并用一对大小相等、方向相反的多余未知力X1代替B截面处刚性结点的作用，得到如图15-7(b)所示的基本体系。,(2)由铰B处的位移条件，即在多余未知力 X1和荷载q共同作用下，基本体系在铰B处两侧截面的相对转角为零，建立力法典型方程为 11X1+1p=0 (3)作基本体系的、Mp图，如图15-7(c)、(d)所示。利用图乘法计算方程中的系数和自由项。 11=2(1/2)l1(2/3)/EI =2l/3EI 1p=-1
