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1、,第三章 时域分析法,3.1 典型输入信号,3.1.1 阶跃函数,阶跃函数的数学表达式为,（3-1） 式中，A为常量。 幅值为1的阶跃函数称为单位阶跃函数，它的表达式为,（3-2） 单位阶跃函数常记为1(t)，单位阶跃函数的拉普拉斯变换为,图3-1 阶跃函数图形,阶跃函数的图形如图3-1所示。阶跃函数是不连续函数，即在t=0时出现r(0)r(0+)，但都为有限值，故阶跃函数在t=0处有第一类间断点。阶跃函数的另一特点是在t0的所有区间均为常值。,3.1.2 斜坡函数,斜坡函数的数学表达式为,式中，A为常量。 斜率为1的斜坡函数称为单位斜坡函数，它的表达式为,（3-3）,（3-4）,图3-2 斜
2、坡函数图形,单位斜坡函数常记为,单位斜坡函数的拉普拉斯变换为,(,)，,斜坡函数的图形如图3-2所示。斜坡函数也称等速度函数，它等于阶跃函数对时间的积分，而它对时间的导数就是阶跃函数。,3.1.3 抛物线函数,抛物线函数的数学表达式为,（3-5）,式中，A为常量。,幅值为1的抛物线函数称为单位抛物线函数，它的表达式为,（3-6）,单位抛物线函数常记为,，单位抛物线函数的拉普拉斯变,换为,抛物线函数的图形如图3-3所示。抛物线函数也称等加速度,函数，它等于斜坡函数对时间的积分，而它对时间的导数就是斜坡函数。,图3-3 抛物线函数图形,3.1.4 脉冲函数,脉冲函数的数学表达式为,（3-7）,式中
3、，h为常量。,脉冲宽度为h，脉冲面积为1，如对实际脉冲宽度h取趋于0的极限，则有,及,（3-8）,称为理想单位脉冲函数，记为,脉冲函数的图形如图3-4所示。,图3-4 单位脉冲函数图形,3.1.5 正弦函数,图3-5 正弦函数图形,正弦函数的数学表达式为,r(t) = Asint （3-9）,式中，A为正弦函数的幅值。,正弦函数的拉氏变换为,（3-10）,正弦函数主要用于频域分析，有时也用于时域分析。正弦函数的图形如图3-5所示。,3.2 阶跃响应的性能指标,（1）动态过程。动态过程也称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数选择的
4、情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式。显然，一个可以正常运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳定的，动态过程除提供系统稳定的信息外，还可以提供其响应速度和阻尼情况等信息，这些信息是用系统动态性能描述的 。,（2）稳态过程。稳态过程也称系统的稳态响应，指系统在典型输入信号 作用下，当t时，其输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用系统的稳态性能描述。在分析系统性能时，认为当系统的输出对其输入的复现进入允许的误差范围以后，系统进入稳态。,由此可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成
5、，一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么在其他输入形式作用下的动态性能也能满足要求。,为便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且系统输出量及其各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的，控制系统的典型单位阶跃响应曲线如图3-6所示。,图3-6 单位阶跃响应曲线及动态性能指标,1上升时间,在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的上升时间可以用tr来表示，它是系统响应速度的一种度量，通常用tr来评价系统的响应速度。,上升时间tr：系统单位阶跃响应从终值的10上升到90所需要的时间。
6、对于有振荡的系统，可以定义为从零上升到终值所需要的时间。,2延迟时间,在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的延迟时间可以用td来表示。延迟时间td指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间。,3超调量,在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的超调量可以用p%来表示，通常用p%来评价系统的阻尼程度。,超调量p%：系统单位阶跃响应在峰值时间tp之值c(tp)和稳态值c()之差与稳态值c()之比的百分数，即,（3-11）,4调节时间,在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的调节时间可以用ts来表示，通常ts同时反映系统的响应速度和阻尼程度。,调节时间ts：理论上，系统
7、的单位阶跃响应在t才能达到稳态。实际上，把单位阶跃响应进入稳态值的并停留在该范围内所需要的最小时间称为调节时间ts。稳态值称为误差带，可以是5%或2%，前者称为5%误差带，后者称为2%误差带。,5峰值时间,在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的峰值时间可以用tp来表示，通常用tp评价系统的响应速度，也反映系统的局部快速性。,峰值时间tp：单位阶跃响应c(t)第一次越过稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。,6稳态误差,在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表示，通常用ess反映系统跟踪输入时的稳态精度。,稳态误差ess：对单位负反馈系统，当t时，系统
8、单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差，即,ess = 1 c(),（3-12）,如果c()为1,则系统的稳态误差为零。,3.3 一阶系统的时域分析,3.3.1 一阶系统的数学模型,典型一阶系统的电路图及动态结构图如图3-7所示。,图3-7 一阶系统的电路图及动态结构图,由图3-7可以导出描述一阶系统的动态特性的微分方程即,（3-13）,式中，T = RC为系统时间常数。,由图3-7所示动态结构图可以求得一阶系统的传递函数为,（3-14）,需要注意的是，具有同一运动方程或传递函数的所有系统，对同一输入信号的响应是相同的。当然，对不同形式或不同功用的一阶系统，其响应特性的数学表达式具有不同的物理意
9、义。,3.3.2 一阶系统的单位阶跃响应,设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数,，输入信号的拉氏变换为,，输出信号的拉氏变换为,对上式进行拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为,(t0),（3-15）,由式（3-15）可见，一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零、以指数,曲线规律上升,的终值为,的曲线，如图3-8所示。其特点是单调上上升而无振荡,现象,故有时也称为非周期响应。,一阶系统单位阶跃响应曲线的值和系统时间常数,的对应关系如下：,t = T时，c(T) = 0.632； t = 2T时，c(2T) = 0.865； t = 3T时，c(3T) = 0.950； t = 4T时，c(4T
10、) = 0.982。,图3-8 一阶系统的单位阶跃响应曲线,由此可得一阶系统单位阶跃响应的性能指标如下：,p% = 0,ess = 0,由此可见，一阶系统的时间常数,越小，系统的快速性越好。,3.3.3 一阶系统的单位斜坡响应,设系统的输入信号为等速度函数（即单位斜坡函数），r(t)=t，输入信号的拉氏变换为：,，输出信号的拉氏变换为,对上式进行拉氏反变换，可得一阶系统的单位斜坡响应为,(t0),（3-16）,根据式（3-16）描述的方程可以画出如图3-9所示的一阶系统单位斜坡响应曲线,根据式（3-16）可以求得系统的输出信号与输入信号之差(t)，即,图3-9 一阶系统单位斜坡响应曲线,3.3
11、.4 一阶系统的单位脉冲响应,设系统的输入信号为单位脉冲函数，,，输入信号的拉氏变换为,，输出信号的拉氏变换为,对上式进行拉氏反变换可得，一阶系统的单位斜坡响应为,(t0),（3-17）,根据式（3-17）描述的方程可以画出如图3-10所示的一阶系统单位脉冲响应曲线。,图3-10 一阶系统单位脉冲响应曲线,一阶系统单位脉冲响应曲线的值和系统时间常数T的对应关系如下：,t = 0时，,，,t = T时，,，,t = 时，c() = 0,由图3-10可以看出，一阶系统的脉冲响应是一单调下降的指数曲线。如果定义上述指数曲线衰减到其初值的2为过渡过程时间ts，则ts=4T。因此，系统的惯性越小（即时间
12、常数越小），则过渡过程（即脉冲函数）的持续时间便越短，也就是说系统反应输入信号的快速性越好。,3.4 二阶系统的时域分析,3.4.1 二阶系统的数学模型,图3-11 典型二阶系统的动态结构图,如果控制系统的运动方程为二阶微分方程，或者传递函数分母s的最高次方为2，则该系统称为二阶系统，常见的二阶系统有RLC电路等。典型二阶系统的方框图如图3-11所示，它由一个非周期环节和一个积分环节串联而成。,系统的传递函数为,（3-18）,二阶系统有两个参数：、n，分别是系统的阻尼比和自然振荡频率。这两个参数和系统物理参数的关系是随系统的不同而不同的。,3.4.2 二阶系统的工作状态,二阶系统闭环特征方程为
13、,其特征根为,（3-19）,可见，根据的不同取值，二阶系统有以下几种工作状态。,（1）当01时，二阶系统有一对共轭复根，系统的单位阶跃响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。,（2）当 = 1时，二阶系统有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。,（3）当1时，二阶系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。临界阻尼和过阻尼的二阶系统单位阶跃响应无振荡。,（4）当 = 0时，二阶系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。,3.4.3 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统处于欠阻尼状态时，阻尼比01，此时二阶系统有一对共轭复根，,。,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为,
14、式中，,，将上式进行拉氏反变换，二阶系统的,单位阶跃响应用c(t)表示，则,（3-20）,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线如图3-12所示。可以看出，二阶系统的响应由稳态分量和暂态分量组成，其特点如下。,（1）暂态分量是一个按指数衰减的正弦振荡表达式，因此，该环节在,时具有振荡的特点，称为振荡环节。,图3-12 二阶系统单位阶跃响应曲线,（2）,是一条指数衰减曲线，它是二阶系统欠阻尼单位阶跃响应曲线的包络线。n的大小直接反映了正弦幅值衰减的快慢，称为衰减系数；d是正弦振荡的频率，因与阻尼有关，所以称为有阻尼自然振荡角频率； 称为阻尼角。,（3）稳态分量为1，稳态误差为0。,图3-13给出了二阶系
15、统不同值时的单位阶跃响应曲线。,图3-13 二阶系统不同值时的单位阶跃响应曲线,3.4.4 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统处于临界阻尼状态时，阻尼比=1，此时二阶系统有相等的负实根，,。,系统的单位阶跃响应象函数为,故拉氏反变换为,(t0),（3-21）,从二阶临界阻尼状态传递函数的极点来看，它相当于是由两个时间常数为,的惯性环节串联而成。二阶系统临界阻尼单位阶跃响应曲线如图3-14所示。,图3-14 二阶系统临界阻尼单位阶跃响应曲线,该响应曲线的特点如下。,（1）临界阻尼二阶系统单位阶跃响应是稳态值为1的单调上升过程，该特点与一阶系统相同，它是一个稳定的无差系统。,（2）一阶系统单
16、位阶跃响应曲线斜率在t=0处最大，并逐渐递减为零；而二阶系统响应曲线的斜率为,当,时，响应曲线斜率最大，由此可知，二阶阻尼响应曲线的斜率由零,，然后再逐渐减小到零，曲线形状呈S形。,逐渐增大到,（3）根据上升时间的定义，可计算出上升时间为tr=3.358。,（4）根据调节时间的定义，调节时间,显然，其建立时间比一阶系统长。,3.4.5 典型二阶系统的性能指标,1快速性能指标,（1）上升时间tr。根据上升时间的定义，可计算出,（3-22）,由上式可见，当n一定时，阻尼比 越小，则上升时间越短，系统响应速度越快；阻尼比 一定时，n越大，则上升时间也越短。,（2）峰值时间tp。峰值时间指系统输出量超过其稳态值，第一次达到峰值所需要的时间。根据定义可计算得到,（3-23）,由上式可见
