《概率论与数理统计-电子教案-李云龙 5.4大数定律+5.5中心极限定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计-电子教案-李云龙 5.4大数定律+5.5中心极限定理（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.4 大数定律,切比雪夫大数定律,是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,定理 5-1（切比雪夫大数定律）设,都有有限方差，并且它们有公共上界，即，,那么对任意,有:,(65),证明：因为,两两不相关，故,再由切比雪夫不等式得,于是，当,所以,时有(6-5)成立，由此定理得证。,推论 5-1（辛钦大数定律）设,那么对任意,有:,(66),是独立同分布的随机变量序列，且,是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,定理 5-1（切比雪夫大数定律）设,都有有限方差，并且它们有公共上界，即，,那么对任意,有:,(65),是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,
2、定理 5-1（切比雪夫大数定律）设,都有有限方差，并且它们有公共上界，即，,那么对任意,有:,(55),定理 5-3（贝努利大数定律）设,是 n 次贝努利试验中,随机事件A出现的次数，p是随机事件A在每次试验中发生的概率，,那么对任意,有:,定义随机变量 Xk 如下:,假设,相互独立，则,而,定理 5-4（普阿松大数定律）在一个独立试验序列中，随,那么对任意,有:,机事件 A 在第 k 试验中发生的概率为,以,试验中随机事件 A 出现的次数，,记前 n 次,定义随机变量 Xk 如下:,是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,定理 5-1（切比雪夫大数定律）设,都有有限方差，并且它
3、们有公共上界，即，,那么对任意,有:,(55),假设,相互独立，则,而,是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一个随机变量,定理 5-1（切比雪夫大数定律）设,都有有限方差，并且它们有公共上界，即，,那么对任意,有:,(55),定理 5-3（贝努利大数定律）设,是 n 次贝努利试验中,随机事件A出现的次数，p是随机事件A在每次试验中发生的概率，,那么对任意,有:,简单说明为什么上式不能写为：,5.5 中心极限定理,一、林德贝格-勒维中心极限定理,设,是独立同分布的随机变量序列，且,令,所以,于是,定理 5-5（林德贝格-勒维中心极限定理）设,是独立同分布的随机变量序列，且,那么对任意实数 x
4、，总有:,也就是说，当,近似服从,证明 略。,定理5-5对离散型和连续型随机变量都是适用的。,例 5-1 一个螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是50克，标准差是5克，求一盒（100个）螺丝钉的重量超过5100克的概率。,解：设第 k 个螺丝钉的重量为,相互独立，并且,又设一盒重量为,根据定理 5-5 有:,例 5-2 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要使用外线。各分机是否使用外线是相互独立的，问总机要有多少条外线，才能有95%的把握保证各个分机用外线时不必等候？,解：设,依题意,以,表示某一时刻同时使用外线的分机数，又假设,总机有 x 条外线。依题意，x 应当满足 :,也就
5、是,根据定理 5-5 有：,近似服从 N(0,1)分布，,例 5-2 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要使用外线。各分机是否使用外线是相互独立的，问总机要有多少条外线，才能有95%的把握保证各个分机用外线时不必等候？,解：,故,近似服从 N(0,1)分布，,查表得,将,代入上式得：,解得,取整数，所以总机至少需要16条外线。,例 5-3 售报员在报亭内售报，每个过路人在该处买报的概率是 1/3，令 X 是出售了100份报纸时过路人的总数，求,解：设第 k1 份报纸被买走之后，有过了,个人才买,第 k 份报纸，显然,近似地是独立同分布的，它的概率分布,为几何分布：,另外,根据定
6、理 5-5 有：,近似服从N(0,1)，,故,二、德莫哇佛-拉普拉斯中心极限定理,我们知道，如果,且当 n 很大，而 p 很小，,np大小适中时，二项分布可由普阿松分布,来近似计算。,但是当 p 不是很小时，我们就无法用此方法。现在我们,通过中心极限定理，由,近似计算,将林德贝格-勒维中心极限定理应用到贝努里试验场合，,很容易得到下面的定理：,将林德贝格-勒维中心极限定理应用到贝努里试验场合，,很容易得到下面的定理：,定理 5-6（德莫哇佛-拉普拉斯中心极限定理）设,是 n 次贝努利试验中随机事件 A 出现的次数，p是随机事,件 A 在每次试验中发生的概率，那么对任意实数 x，有,德莫哇佛-拉
7、普拉斯中心极限定理也就是说，如果随机,变量,那么，当 n 很大时，,近似服从 N(0,1)。,定理 5-5（林德贝格-勒维中心极限定理）设,是独立同分布的随机变量序列，且,那么对任意实数 x，总有:,例 5-4 假设某产品的正品率为80%，现抽查100件。 求： (1)抽出的次品数超过15件的概率； (2)以概率0.9保证查出的正品数与80的偏差范围是多少？,解：设 X 为抽出的正品数，则,其中 n=100，p=0.8，np=80，不适合用普阿松分布近似计算。,(1)次品数超过15件的概率，即,可用正态分布近似计算。即：,(2)依题意即要求满足下式的 使,所以,查表得,取整,即：,正态分布和普阿松分布作为二项分布的极限分布（即,近似分布），一般有以下特点：,
