矩阵范数与矩阵函数

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1、第6章 矩阵范数与矩阵函数 6.1 向量范数 1、向量范数的定义 2、 空间上向量范数的性质之一 3、 空间上的常用向量范数 分别称为1-范数、2-范数、-范数和-范数。 4、 空间上范数的性质之二 5、 空间上范数的性质之三 6.2 矩阵范数 1、矩阵范数的定义 2、矩阵范数可看作向量范数，但具特殊性 对于某一矩阵范数系，若相容性不等式关系(6.2.1)成立，则 称该矩阵范数系为相容矩阵范数系。 相容矩阵范数系的性质： 3、矩阵的1范数、2范数和范数 1 , 2 2 , 1 2 = Tr(H) 1 2 max , 性质： (1) 均为矩阵范数； (2) 1范数、2范数是相容矩阵范数，范数不是

2、相容矩阵 范数； (3) 2范数也称为Frobenius范数或迹范数，是酉不变范数。 4、矩阵的1-范数、2-范数和-范数 考查向量经矩阵映射前后的向量在一般的向量范数意义 下的长度之比的最大值： 则有如下性质： 性质1： 是矩阵范数、且相容，即 式(6.2.4)从向量范数导出的相容矩阵范数，称为由向量范数 诱导的相容矩阵范数，或称为算子范数。 性质2： 矩阵的1-范数、2-范数、-范数，也分别称为列和范数、 谱范数、行和范数。 5、矩阵范数的应用 对于实际问题，数字矩阵 = ()的每个元素通常会 带有误差，即准确矩阵为 + = + = (+ ) 其中， = ()称为摄动矩阵。 考虑如下问题：

3、 （1）若可逆，则与满足什么条件时 + 可逆。 （2）当 + 可逆时，1与 + 1的近似程度如何估计。 对以上问题的回答，需要用到定理6.2.6. 式中 为任一相容算子矩阵范数。 6.3 向量和矩阵的极限 1、矩阵Cauchy序列和收敛序列的定义 2、矩阵序列极限的属性 3、矩阵序列极限的运算法则 4、方阵谱半径的定义 5、方阵幂有零极限的条件 6、方阵谱半径与范数的关系 6.4 特征值与谱半径的估计 1、方阵特征值的估计（特征值在复平面上的分布） 圆盘定圆盘定理理1 1： 盖尔圆系：定理6.4.1中，并集1 2 称为矩 阵的盖尔圆系。 区：的盖尔圆系中，记由个圆组成的连通域为，又 若与其它圆

4、无公共点，则称为区。 圆盘定圆盘定理理2 2： 设是的盖尔圆系之区，则中有且只有的个特征值 （重根算个）。 特征特征值估计的改善：值估计的改善： 2、方阵谱半径的估计 一般方阵的谱半径：一般方阵的谱半径： 对角占优矩阵的谱半径：对角占优矩阵的谱半径： 6.5 矩阵幂级数 1、矩阵级数及其收敛性 矩阵序列：矩阵序列：中，形如0,1,的有序矩阵列，称 为矩阵序列。 矩矩阵级数：阵级数：由矩阵序列0,1,构成的如下和式 =0 = 0+ 1+ + + (6.5.1) 称为矩阵级数。 矩阵级数的收敛性矩阵级数的收敛性（发散性发散性）：若矩阵序列0,1,的部 分和= =0 作成的序列0,1,收敛（发散），

5、则 称矩阵级数是收敛（发散）的。 矩阵级数收敛性的判别：矩阵级数收敛性的判别： 中的矩阵级数 =0 收敛，当 且仅当个数值级数 =0 收敛。 矩阵级数矩阵级数的绝对收的绝对收敛敛性：性：若 =0 收敛，即个绝对数值级 数 =0 ,( = 1,; = 1,)均收敛，则称矩阵级数 =0 绝对收敛。其中， 。 矩阵级数绝对收敛的判别：矩阵级数绝对收敛的判别： 2、矩阵幂级数及其收敛性 方阵的幂级方阵的幂级数数：对于方阵 ，如下形式的矩阵级数 =0 = 0 + 1 + 22 (6.5.1) 称为矩阵的幂级数。 矩矩阵幂级数的收敛性判别：阵幂级数的收敛性判别： 6.6 矩阵函数 1、矩阵函数的概念 设复

6、变量幂级数 =0 的收敛半径为，且当 时 收敛于()，即 = =0 ,( )。若 满 足() ，则称收敛矩阵幂级数 =0 的和为矩阵函数， 记为()，即 = =0 , () ) 2、矩阵函数的计算 方法一：定义法方法一：定义法。直接利用矩阵幂级数的定义式进行计算直接利用矩阵幂级数的定义式进行计算。 例：设 = 10 00 ， = 01 00 ，求 , , + 方法二：方法二：JordanJordan标准形法标准形法。 理论基础： 例：设 = 126 103 114 ，求 , , sin 方法三：谱值相等法。 矩阵函数定义为一个矩阵幂级数的形式。对任一方阵而 言，假定其最小多项式的次数为，则因最

7、小多项式是次数 最低的首1化零多项式，故的任意次方,( )均可由 ,1线性表示。这样，可将矩阵幂级数表示为一个 有限次矩阵多项式的形式，即 = 0+ 1 + + 11 () 要计算任意矩阵函数()，只要确定系数0,1,1即 可。 定义：定义：设矩阵的最小多项式为 = 1 1 2 2 其中，1,2,为的个互异特征值。对任意函数()， 若 ,(), 1 , ( = 1,)存在，则称函数 ()在的谱 *1,2,+上有定义，或()在的谱 上给定，并称 ,(), 1 , ( = 1,) 为()在的谱 上的值，或()在 上的谱值。 定 理 ：定 理 ： 设 ， 1() 与 2() 是 两 个 多 项 式

8、， 则 1()=2()的充要条件是1()与2()在的谱 上有相同 的值。 例：设 = 001 212 102 ，求 , 6.7 函数矩阵的微积分 1、单变量函数矩阵的概念 设矩阵 = 11121 21()22()2() 1()2()() 其中，每个元素()都是复变量的函数，则称()为复变 量的函数矩阵。若每个元素()都在 = 0或的某个定义 区域上可微，则称此函数矩阵()在 = 0或区域上是可 微的，并规定()对的导数为 = 一般而言，应用更多的是取实数的情况。对于取实数， 常将用变量代替。 对于 ，如果每个元素()均在区间,-上有界、 连续、可微、可积，那么就分别称()在区间,-上有界、 连

9、续、可微、可积。 2、单变量函数矩阵微积分的性质 （1）若 、()均可导，则 （2）若 、1()均可导，则 （3）若 可积，则 = ； = 若 、()均可导，且下式中涉及的积分有意义，则 () = () （4）若 = 关于可微， = ()关于可微， 则 = 3、函数矩阵对矩阵的导数的概念 设有矩阵 = 和 = ，若每个均为 ,( = 1,; = 1,)的 元函数，则称矩阵为 矩阵的函数，记为()。若每个对每个均可导，则称 可导，并规定对的导数为 = 11 1 1 其中， = 常见的情况是为数量，或、T都是列（行）向量的情 况。 特别，若 = 1 , T, = 1,T ，则 称 T = 1 1

10、1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 为()对的Jacobi矩阵，或()对 的Frechet导数。 4、函数矩阵对矩阵的导数的计算 1 1）数量函数对矩阵的导数数量函数对矩阵的导数。 例：设 = 为常量矩阵， = 为变量矩阵， 求 (tr ) 例：设 = 、且det 0，求 (det ) 数量函数对矩阵的导数的性质：数量函数对矩阵的导数的性质： 设 、()均为矩阵 = 的数量函数，且可导， 则： （1） T = T （2） + () = + （3） () = + () 2 2）列列（行行）向量对行向量对行（列列）向量的向量的导数导数。 设 , 1， 1，() ，, 均可导，, ， ，则： （1） T