《计算机辅助设计与制造（第二版）-电子教案-袁泽虎 第4章图形坐标变换域裁剪》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机辅助设计与制造（第二版）-电子教案-袁泽虎 第4章图形坐标变换域裁剪（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 图形坐标变换与裁剪 4.1 二维图形的坐标变换 在图形显示过程中，用户需对图形进行平移、放大、旋转等基本的几何变换操作。图形的平移、放大、旋转从数学上看都是几何性质的“变换”，故又称为图形的几何变换 对二维图形的坐标变换，就是指在不改变图形连线次序的情况下，对一个平面点集进行线性变换。 1二维图形坐标变换的基本原理： (1) 平移变换： 一个点P(x,y) 平移到P*(x*,y*)，平移后产生的新坐标如下 x*=x+Dx y*=y+Dy,(2) 变比例变换： X*=SxX Y*=SyY 对一个三角形进行变比例变换，同样仅需将该三角形的三个顶点进行变比例变换。然后在变换后的三顶点间按A、
2、B、C次序连线，就可得到变比例变换后的三角形，如图所示。 (3) 旋转变换： X*=Xcos-Ysin Y*=Xsin+Ycos,2坐标变换的矩阵表示形式： 前面已介绍，对二维图形的坐标变换，实际上是对一个平面点集进行线性变换。由于点集可用矩阵的方式来表达，因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即： 一个点的坐标可以用矩阵形式x y 或 表示，坐标变换的矩阵表示形式为： X* Y*=X Y =aX+cY bX+dY 其中：T= 为变换矩阵。 当T矩阵各元素取不同值时，便可得到不同的变换结果,注意，不论变换矩阵中的元素a、b、c、d为何值时，都不能使图形产生平移变换，即用2行2列的变换矩阵
3、不能实现图形的平移变换。这就需要使用图形的另一种表示方法齐次坐标。 3齐次坐标与齐次变换矩阵： 为了进行平移变换，要给二维点的位置矢量增加一个附加坐标，使之成为三维行向量x y l，即用点的齐次坐标表示，这样便可进行运算了。 (1) 齐次坐标： 齐次坐标是将一个n维空间的点用n+1维坐标来表示。如在直角坐标系中，二维点x y的齐次坐标通常用三维坐标Hx Hy H表示，一个三维点x y z 的齐次坐标通常用四维坐标Hx Hy Hz H表示。在齐次坐标系中，最后一维坐标H称为比例因子。,三维直角坐标与其齐次坐标的关系是： x=Hx/H y=Hy/H z=Hz/H 由于H的取值是任意的，所以任一点可
4、用多组齐次坐标表示。在一般使用中，总是将H设为“1”，以保持两种坐标的一致。 (2) 齐次变换矩阵： 对于二维坐标系上的点，齐次坐标为Hx Hy H,而齐次坐标变换矩阵的形式是： T= 可将该矩阵分为四部分，其作用 分别为：,的作用是对被变换点的坐标进行放大、缩小和旋转变换；,m n的作用是对变换点的坐标进行平移变换；,的作用是对变换点的坐标进行投影变换；,s是整个变换中的比例系数。,下面分别介绍利用齐次变换矩阵进行平移变换、变比例变换和 旋转变换：,(a) 当 T=,时,XH YH H=X Y 1,=X+m Y+n 1,X*=XH/H=X+m Y*=YH/H=Y+n,这时为平移变换,4二维复
5、合变换： 实际上，上述介绍的几种基本变换一般不单独出现，通常出现的都是复合变换。有的图形须经过多次基本变换才能完成，这种由两个以上基本变换构成的变换称为复合变换。设各次变换的变换矩阵分别为T1，T2，Tn，则复合变换矩阵是各次变换矩阵的乘积。 例：当图形要对画面中的某一点(x0,y0)作放大时，可通过如下三种基本变换复合而成： (1) 首先将坐标原点（0，0）平移至（x0，y0），变换矩阵为：,T1=,(2) 然后图形以（x0，y0）为中心作放大，变换矩阵为： (3)最后将坐标原点自（x0，y0）的位置移回原处（0，0） 变换矩阵为：,T2=,T3=,则以点（x0，y0）为中心，放大系数分别为
6、Sx、Sy的复合变换矩阵为： T=T1T2T3= 同理，当图形绕坐标原点以外的任意点（x0，y0）作旋转时，也可以通过三种基本变换复合而成，即将旋转中心平移到坐标原点，其变换矩阵为T1；然后使图形绕坐标原点旋转角，变换矩阵为T2；最后将旋转中心平移回原来的位置，其变换矩阵为T3。则绕坐标原点以外的任意点旋转角的复合变换矩阵为： T=T1T2T3=,4.2 三维图形的坐标变换 三维图形的坐标变换是二维图形坐标变换的简单扩展。三维齐次坐标变换矩阵的形式是： T =, 产生变比例变换、旋转变换、反射（对称）变换等,l m n 产生沿x、y、z三个方向的平移变换。,s 产生全比例变换, 产生透视变换,
7、4.2.1 三维基本变换 1比例变换： 2反射（对称）变换： (1)对xoy平面的反射变换 (2) 对xoz平面的反射变换,T=,T=,T=,(3) 对yoz平面的反射变换,3平移变换：,平移变换是指立体在空间沿x、y、z三个方向移动一个位置，而立体本身的大小和形状并不改变。齐次变换矩阵为：,T=,空间一点（X，Y，Z）的平移变化结果为：,X Y Z 1,= X+l Y+m Z+n 1 = X* Y* Z* 1,4旋转变换： (1) 绕X轴旋转角: (2) 绕Y轴旋转角: (3) 绕Z轴旋转角: Tz=,Tx=,Ty=,例：已知某长方体各顶点坐标为A（3，2，1.5）、B（1，2，1.5）、C
8、（1，2，2.5）、D(3，2，2.5)、E（3，1，1.5）、F（1，1，1.5）、G（1，1，2.5）、H（3，1，2.5），将该长方体对yoz平面进行反射变换，试求变换结果。 解：将长方体各顶点坐标进行反射变换如下：,A 3 2 1.5 1 -3 2 1.5 1 A* B 1 2 .5 1 -1 2 1.5 1 B* C 1 2 2.5 1 -1 0 0 0 -1 2 2.5 1 C* D 3 2 2.5 1 0 1 0 0 = -3 2 2.5 1 D* E 3 1 1.5 1 0 0 1 0 -3 1 1.5 1 E* F 1 1 1.5 1 0 0 0 1 -1 1 1.5 1 F
9、* G 1 1 2.5 1 -1 1 2.5 1 G* H 3 1 2.5 1 -3 1 2.5 1 H*,其变换结果如图所示。,4.2.2 三维基本变换矩阵的组合 1绕通过坐标原点的任意轴的旋转变换矩阵 设on为通过坐标原点的任意方向的直线，其方向余弦分别为n1、n2、n3，则点p绕on轴转动角到达p点见图4.4（a）的变换矩阵为: 2绕通过任意点P(l，m，n)，方向余弦分别为n1、n2、n3的轴的旋转变换矩阵,TR=,4.3 三维图形变换的应用 4.3.1 正投影变换 正投影变换可得到国家标准规定的六个基本视图主视图、俯视图、左视图、右视图、仰视图和后视图 1主视图变换矩阵 主视图变换矩
10、阵为：,2俯视图变换矩阵 俯视图变换矩阵为： TH = 3左视图变换矩阵 左视图变换矩阵为： TW =,4.3.2 正轴测投影变换 正轴测投影图是工程上应用广泛的二维图形。其变换矩阵为： T正轴测 = （4-1） 在上述所示的正轴测投影变换矩阵中，只要给、不同的值，就可得到不同的正轴测投影图。,1正等轴测投影变换矩阵 按国家标准规定，以=45、=35.2644代入式（4-1）即可得到正等轴测投影变换矩阵。 2正二等轴测投影变换矩阵 按国家标准规定，以=20.7、=19.47代入式（4-1）即可得到正二等轴测投影变换矩阵。 4.3.3 透视投影变换 透视图是采用中心投影法得到的图形，即通过投视中
11、心（视点），将空间立体投射到二维平面（投影面）上所产生的图形。 1透视变换矩阵 2一点透视变换,4.4 开窗与裁剪 4.4.1 基本概念和术语 1用户坐标系（世界坐标系） 2屏幕坐标（设备坐标） 3窗口：在实际画面中（用户坐标系），由用户 确定的矩形区域。 4视区：在屏幕上（屏幕坐标系）用来显示窗口 的画面内容的矩形区域 5裁剪：保留窗口内的画面，擦去窗口外的全部 画面的方法。 4.4.2 窗口视区变换,4.4.3 二维图形的裁剪 1点的裁剪 在图形剪裁中，最基本的是点的裁剪。对于某一点P(x，y)，只要满足 xmin xxmax ymin yymax 则该点一定落在边界所围成的矩形框内。 2
12、直线裁剪的CohenSutherland算法 延长窗口的边界，将屏幕分为九个小区域，中央小区域就是要裁剪的区域。每个小区域用一个四位二进制代码表示，其中各位数字的含义如下； 小区域在裁剪区域之左，即xxmax，则c2=1，否则c2=0 小区域在裁剪区域之下，即yymax，则c4=1，否则c4=0,3直线的矢量裁剪方法 这种裁剪方法与上面所说的方法相类似，只是判别端点是否落在窗口框内所采用的过程不一样。在该算法中，同样用四条窗口边框直线把平面分割成九个区域，为了叙述算法过程方便起见，我们把这九个区域分别表上0、1、2、3、8号码。 4多边形裁剪的SutherlandHodgman算法 SutherlandHodgman算法是解决多边形裁剪的较好算法，其处理对象是多边形的顶点，依次用窗口的四条边框线对多边形进行裁剪，即先用一条边框线对整个多边形进行裁剪，得到一个或者若干个新的多边形，再用第二条边对这些新产生的多边形进行裁剪，如此进行下去，直到用四条边框线都裁剪完为止。,
