信号与系统下册 系统分析与设计 教学课件 ppt 作者 程耕国 第8章

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1、1,第八章 时域连续系统的复频域分析,引言 8.1连续系统的复频域分析法 8.2 系统函数与系统特性 8.3 LTI系统的稳定性 8.4 小结,2,引言,连续时间系统复频域分析的数学方法是Laplace变换，通过Laplace变换可把解微分方程转化为解代数方程。连续时间系统复频域分析法不但能求系统的零状态响应，也能求系统的零输入响应。 利用系统函数的零极点分布，可定性分析系统的时域特性、频率响应、稳定性等。,3,8.1 连续系统的复频域分析法,8.1.1 微分方程的变换解 8.1.2 系统函数 8.1.3 电路的s域框图 8.1.4 系统的s域框图 8.1.5 信号流图与梅森公式,4,8.1.

2、1 微分方程的变换解,描述n阶线性时不变连续系统的微分方程的一般形式为,是因果激励， 为系统的个初始状态,(8.2-1),(8.2-2),即,根据时域微分特性，有,5,8.1.1 微分方程的变换解,因此式(8.2-2)的单边Laplace变换式为,6,8.1.1 微分方程的变换解,零输入响应的 域表达式为,零状态响应的 域表达式为,(8.2-3),7,8.1.1 微分方程的变换解,8,8.1.1 微分方程的变换解,例8-1 一连续时间系统满足微分方程 已知 ，求系统的零输入响应 ，零状态响应 和完全响应 。,解：对微分方程两边进行单边Laplace变换得,整理得,9,8.1.1 微分方程的变换

3、解,零输入响应的 s 域表达式为,零状态响应的 s 域表达式为,10,8.1.2 系统函数,如前所示，描述阶线性时不变连续系统的微分方程的一般形式为(8.2-1) ，系统的零状态响应的象函数为(8.2-3),展开为,设,11,8.1.2 系统函数,定义系统函数为,则系统零状态响应的象函数可写为,由于 ，故系统冲激响应 的Laplace变换,即,12,8.1.2 系统函数,系统的阶跃响应 是输入 时的零状态响应，由于 ，故有,一般，系统零状态响应的象函数为,取上式的Laplace反变换，并由时域卷积定理，有,13,8.1.2 系统函数,例8-2 一线性时不变系统满足微分方程,求系统的冲激响应,解

4、：Laplace变换，得,14,8.1.3 电路的 s 域框图,基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律的时域描述为 进行Laplace变换即得KVL和KCL的复频域(域)描述,15,8.1.3 电路的 s 域框图,R、L、C元件的时域伏安关系为 进行Laplace变换，得R、L、C元件的 s 域关系为,16,8.1.3 电路的 s 域框图,对电流求解，得,将原电路中已知电压源、电流源都变换为相应的象函数；未知电压、电流也用其象函数表示；各电路元件都用其s域模型替代(初始状态变换为相应的内部象电源)，则可画出原电路的s域电路模型。,17,8.1.3 电路的 s 域框图,例8-3 在下图(a)所示电路

5、中，电容的初始储能为 ，画出该电路的s域模型，并计算,(a) RC电路,(b) s域模型,18,8.1.3 电路的 s 域框图,解：下图(a)电路的s域模型，如(b)所示。根据(b)可以写出回路方程为,电容两端的电压,求反变换得,19,8.1.4 系统的 s 域框图,1.基本运算部件的s域模型,或,或,20,8.1.4 系统的 s 域框图,1.基本运算部件的s域模型,21,8.1.4 系统的 s 域框图,2.连续时间系统的s域模型 (1)一阶系统的s域框图 设一阶系统的微分方程为 对应的系统函数表示为,22,8.1.4 系统的 s 域框图,以 作为输入， 作为输出，得到一阶系统的s域框图如下图

6、所示,图8-3 一阶系统的 s 域框图,23,8.1.4 系统的 s 域框图,(2)二阶系统的s域框图 二阶系统的微分方程为 对应的系统函数表示为,24,8.1.4 系统的 s 域框图,以 作为输入， 作为输出，得到二阶系统的s域框图如下图所示,图8-3 二阶系统的 s 域框图,25,8.1.4 系统的 s 域框图,(3) n 阶系统的s域框图 n 阶系统的微分方程为 对应的系统函数表示为,26,8.1.4 系统的 s 域框图,以 作为输入， 作为输出，得到 n 阶系统的s域框图如下图所示,图8-3 n 阶系统的 s 域框图,27,8.1.4 系统的 s 域框图,若系统的微分方程中含有输入函数

7、的导数项，即系统既有极点，也有零点时，如 且 ，其系统函数为,28,8.1.4 系统的 s 域框图,可以得出一般阶系统的 s 域框图如下图所示，其中令,29,8.1.4 系统的 s 域框图,(4) 组合系统的 s 域框图 1) 级(串)联组合系统的 s 域框图 级(串)联形式模拟的实现方法是将 分解为基本一阶子系统相乘的形式。,令,30,8.1.4 系统的 s 域框图,2) 并联组合系统的 s 域框图 并联模拟的实现方法是对 进行部分分式展开,31,8.1.4 系统的 s 域框图,3) 反馈系统的 s 域框图 反馈系统的系统函数为：,32,8.1.4 系统的 s 域框图,例8-7已知系统函数

8、，分别作直接型、串联型和并联型模拟框图。 解： 直接型 系统的微分方程为 令 ，则,33,8.1.4 系统的 s 域框图,串联型 由于,34,8.1.4 系统的 s 域框图,并联型 由于,35,8.1.5 信号流图与梅森公式,信号流图可以看成是模拟框图的一种简化表达形式，是表示系统各变量间相互关系的另一种图示方法。 系统的信号流图表示实际上是用一些点和有向线段来描述系统。线段端点代表信号，称为结点。有向线段表示信号传输的路径和方向，一般称为支路，每一条支路相当于乘法器。,36,8.1.5 信号流图与梅森公式,结点 表示变量或信号的点，用符号“o”表示。如图中点 、 、 、 和 。 支路 连接各

9、个结点，表示结点间因果关系的有向线段。 支路传输值 表示支路因果变量间的转移函数。如图中 与 变量间的支路传输值为1。,37,8.1.5 信号流图与梅森公式,源结点 仅有出支路（输出）的结点，通常用源结点表示输入激励信号，如图中 。 汇结点 仅有入支路（输入）的结点，通常用汇结点表示输出响应信号，如图中 。 闭环 信号流通的闭合路径，如图中 为一闭环。 自环 仅含有一个支路的闭环，如图中 前向路径 由源结点到汇结点的一条不包含任何环路的流通路径，如图中,38,8.1.5 信号流图与梅森公式,39,8.1.5 信号流图与梅森公式,40,8.1.5 信号流图与梅森公式,但如果信号流图很复杂，化简过

10、程将变得冗长，这时可以运用直接求信号流图总传输值的规则梅森(Mason)公式来求总传输值而无需对流图进行逐步化简。 梅森公式可表示如下： 其中 为总传输值 称为图行列式，定义为：,41,8.1.5 信号流图与梅森公式,式中： 为第i个环路的传输值 为所有环路的传输值之和 为所有相互不接触的两个环路的传输值的乘积之和 为所有相互不接触的三个环路的传输值的乘积之和 为第 k 个正向传输路径的传输值 为与 不相接触的子图部分的 值,42,8.1.5 信号流图与梅森公式,例8-10 已知某系统信号流图如图所示，求系统的总传输值。 解：该信号流图共有5个环路，各环路的传输值分别为：,43,8.1.5 信

11、号流图与梅森公式,该图中两两互不接触的环路共有3组： ； ； 。其传输值的乘积分别为,该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，所以,44,8.1.5 信号流图与梅森公式,该图共有3条正向传输路径，其传输值分别为,除去 正向传输路径中所包含的支路和结点后，所剩子图如图所示,45,8.1.5 信号流图与梅森公式,该子图共有两个环路,除去 正向传输路径中所包含的支路和结点后，已无子图存在，,将以上各项代入梅森公式即可得总传输值为,46,8.2 系统函数与系统特性,8.2.1 系统函数的零点与极点 8.2.2 系统函数与时域响应 8.2.3 系统函数与频域响应,47,8.2.1 系统函数的零点与极点,

12、系统函数定义为系统的零状态响应的象函数 与激励的象函数 之比 式中， 的n个根 称为系统函数 的极点； 的m个根 称为系统函数 的零点。由此，上式可改写为,48,8.2.1 系统函数的零点与极点,极点和零点的数值有三种情况：实数，虚数和复数。 的系数 都是实数，因此，零、极点中若有虚数或复数时必共轭成对出现。 将系统函数 的零、极点标在平面上，并用“O”表示零点，用“”表示极点，为系统的零极图,49,8.2.1 系统函数的零点与极点,例8-11 已知某系统的系统函数为 ，求系统的零、极点，并画出系统的零极点分布图。,解：,分母为零，得系统的极点,分子为零，得系统的零点,50,8.2.2 系统函

13、数与时域响应,冲激响应 的函数形式完全取决于 的极点；而幅 度和相角将由极点和零点共同决定。 的极点在s平面的位置有三种情况：s的左半开平面 (不含虚轴)、虚轴上和s的右半开平面。 1) 若 的极点位于s平面的坐标原点，即 ，则 为 的形式，其对应的冲激响应的模式为阶跃函数。 2) 若 的极点位于s平面的虚轴上，则 为 或 的形式，其对应的冲激响应的模式为等幅振荡。,51,8.2.2 系统函数与时域响应,3) 若 的极点位于s平面的实轴上，即 (a为实数)，则 为 的形式，当 时，极点位于s平面的正实轴上，冲激响应的模式为单调增长指数函数；当 时，极点位于s平面的负实轴上，冲激响应的模式为单调

14、衰减指数函数。 4) 若 的极点位于s平面的共轭复数处， 为 或 的形式，若 ，共轭极点位于s平面的右半平面，相应的冲激响应的模式为增幅振荡；若 ，共轭极点位于s的左半平面，相应的冲激响应的模式为减幅振荡。,52,8.2.2 系统函数与时域响应,一阶极点与其所对应的响应函数,53,8.2.2 系统函数与时域响应,重极点与其所对应的响应函数,54,8.2.3 系统函数与频域响应,由系统函数 大致地描绘出系统的频响特性曲线 ， 。 由式(8.3-2)，取 ，即令沿虚轴移动，得到 对于任意零点 和极点 ，相应的复数因子都可以表示为零点与极点矢量，如图8-24所示。,55,8.2.3 系统函数与频域响应,分别是零、极点矢量的模； 分别是零、极点矢量与正实轴的夹角。,56,8.2.3 系统函数与频域响应,57,8.2.3 系统函数与频域响应,例8-12 试求下图所示高通滤波网络的频响特性,解： 写出系统函数表达式,58,8.2.3 系统函数与频域响应,零、极点在S平面分布如图所示 将 以矢量因子 ， 表示,式中,59,8.2.3 系统函数与频域响应,下面分析当 从0沿虚轴向 增长时， 如何随之改变 当 时，由 ， ，得,，即,又由,，得,当 时，由 ， ，得,又由