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1、ThemeGallery PowerTemplate,4-6 频谱概念,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,频谱的概念,线谱的绘制,内容安排,4-6-1 线谱,4-6-1 线谱,在信号的傅立叶分析中，2l周期函数 f(t) 的复指数傅立叶系数,为,它又被称为 f(t) 的频谱系数。频谱系数,对信号 f(t) 中包含的每,写成极坐标形式，即,式中,是频谱系数,的模，也称为幅度；而,是,的相位。通,和相位,的频率图定义为线谱，则线,和相位,绘图。因此，称前者为幅度谱并,一个频率分量（也称为谐波分量）的大小给出了度量。如果将,常，将式（4-6-2）的幅度,谱可以分别针对幅度,且后者为相位谱
2、。幅度谱和相位谱通常简称为频谱。,（4-6-2）,（4-6-1）,4-6-1 线谱,对于实周期信号 f(t)，由式（4-3-6）和式（4-3-7）两式可知有,上式说明实周期信号 f(t) 的幅度谱是 k 的偶函数，相位谱是 k 的 奇函数。因此，由频谱的偶对称和奇对称性可以看出如果对定义在,的离散频率点（因为 k 取整数）画幅度和相位线谱,到,注意，如果取 2l 周期函数 f(t)中的周期 2l=T，则,如果将极坐标形式的傅立叶系数（见式（4-6-2）代入复指数形 式的傅立叶级数中，考虑到针对实信号有,以及,，,图，则得到的频谱图是从,的所有频率的双边谱。,（4-6-3）,4-6-1 线谱,则
3、有,（4-6-4）,4-6-1 线谱,上式是傅立叶余弦级数的一种形式。显而易见，上式的线谱是单 边谱，并且幅度谱中谱线的高度（,）是双边谱中正频率部分谱,）的两倍，而当k=0时的谱线在两种谱中的高度是相同 的。至于单边相位谱则与正频率部分（包括k=0）的双边相位谱相同。 讨论题4-6-1 讨论图4-6-1所示方波的傅立叶级数表达式。,图4-6-1 方波信号,线高度（,4-6-1 线谱,该信号 x(t) 的周期是 2l=T，所以,注意，,是信号的基波角频率。另外，由于 x(t)具有偶,可以使式（4-6-1）的,对称性，选取一个周期的积分区间,计算更为简单，即,4-6-1 线谱,对,利用洛比达（L
4、Hopital）法则，可以证明,因此，图示方波的复指数傅立叶系数为,上式中,是实数值，,则是通过求极限得出的。代入,，则有,式中,称为方波的占空比。,（4-6-5）,4-6-1 线谱,图4-6-2分别是占空比,，,和,三种情况下的频谱,减小时，图4-6-1中的时域方波信号在 每个周期内的能量将集中在一个较的时间区间内，但它对应的傅立 叶级数表示的能量却分布在一个较宽的频率区间。反之亦然。例如，,的第一个过零点，对于,，出现在 k=2；对于,，出现,，出现在 k=16。,图。容易看出，当占空比,在 k=8并且对于,4-6-1 线谱,4-6-1 线谱,式（4-6-5）中表现的函数是傅立叶分析中常用
5、的一种函数形式。,或者,表示，定义为,函数有最大值sinc(0)=1；它的过零点在 u 为整数值处，且幅度是按,衰减的。sinc(u)函数在,的过零点之间的部分称为 sinc(u) 函 数的主瓣，主瓣之外的波纹部分称为旁瓣。利用 sinc(u) 函数定义， 方波函数 x(t)的复指数傅立叶系数表达式（4-6-4）可以重写为,它有一个特殊的名称，称为抽样函数，用符号,函数的图形如图4-6-3所示。由图可见，当 u=0时，sinc(u),（4-6-7）,（4-6-6）,4-6-1 线谱,图4-6-3 sinc(u)函数的波形,4-6-1 线谱,例4-6-2 计算机时钟信号是周期矩形脉冲电压信号 f
6、(t)，波形如图,且宽度为,的矩形脉冲串。,4-6-4所示。这是一个周期为T、幅度为,试画出 f(t)的线谱。,4-6-1 线谱,解：周期信号f(t)的周期是2l=T，所以,其中,是基波角频率。因为信号波形没有对称性，,故其指数傅立叶系数为,4-6-1 线谱,4-6-1 线谱,因此，周期信号 f(t) 的幅度频谱及相位频谱分别为,和,4-6-1 线谱,上式中若取周期T=2、幅度,且脉冲宽度,k = -30:30; T=2;t=0.1;V0=1;t0=1;w0=2*pi/T; Ck = (V0*t/T)*sinc(0.5*w0*t*k).*exp(-j*w0*k*(t0+t/2); magCk
7、= abs(Ck); angCk =angle(Ck); subplot(211) stem(k,magCk) subplot(212) stem(k,angCk),，则计算,信号线谱的Matlab程序如下：,4-6-1 线谱,图4-6-5给出了 f(t) 的幅度谱和相位谱图。,图4-6-5 例4-6-5的幅度谱和相位谱,4-6-1 线谱,例4-6-3 考虑图4-6-6所示的锯齿波信号。试画出它的的线谱图。,图4-6-6 锯齿波信号波形,4-6-1 线谱,解：由图4-6-6可以看出信号是奇函数，因此根据对称性有,查标准积分表可知,代入相应的积分限，有,4-6-1 线谱,由式（4-3-3）可求出
8、复指数傅立叶系数,为,因此，信号 x(t) 的幅度线谱和相位线谱分别为,和,上式中若取周期E=1，则用Matlab画出的正频率部分的信号线谱 如图4-6-7所示。（注意，,）,4-6-1 线谱,图4-6-7 例4-6-3的幅度线谱图和相位线谱图,4-6-1 线谱,例4-6-4 确定如下信号的线谱图：,解：根据式（4-2-15），因为,，故其周期为T=4。,现将,用欧拉公式展开，得到,则式（4-2-15）可以写成,（4-6-8）,4-6-1 线谱,若令上式的每一项与式（4-6-8）的对应项相等，即可得到 x(t),显然，x(t)的幅度线谱和相位线谱分别为,和,的傅立叶系数为：,4-6-1 线谱,图4-6-8 给出了信号的幅度谱和相位谱。注意，这个信号的全部,和,上。,能量集中在两个频率,
