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1、ThemeGallery PowerTemplate,3-2 序列的运算,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,典型信号的时域描述及特点,冲激信号,内容安排,3-2-1 对因变量的基本运算,3-2-4 基本组合运算,3-2-2 对自变量的基本运算,3-2-3 其它基本运算,3-2-5 抽样率变换,前言,单输入、单输出离散时间系统按照一定的规则对一个序列进行特定的运算，并得到一个新的序列。原始的序列称为输入（或激励）序列，新的序列称为输出（或响应）序列，它通常具有我们期望的一些特性。 例如，输入序列可能会受到某种加性噪声的干扰，因此需要设计一个离散时间系统对受到噪声污染的序列进行噪声分量
2、的抑制或者消除。离散时间系统也可以是多输入、多输出的。一般而言，一个M输入、N输出的离散时间系统能够对M个输入序列进行运算，并得到N个输出序列。例如，调频立体声发送机就是一个2输入、1输出的系统，它将左右两声道的信号合成为一个高频混合基带信号。,3-2-1 对因变量的基本运算,1.序列相加：,两个离散序列 和 的相加是对序列样本值的逐点相加运算，表示为：,(3-2-1),实现加运算的运算单元（器件）称为加法器，其运算功能框图如图3-2-1所示。注意，实现加法运算不需要存储任何一个序列，这就意味着加法运算无记忆。,图3-2-1 序列加运算框图,3-2-1 对因变量的基本运算,2.序列乘积：,两个
3、信号序列 和 的乘积是对信号样本值的逐点相乘运算 （即“点乘”），表示为：,(3-2-2),序列乘积运算特别强调了“逐点”相乘，这是因为matlab定义的乘法算子有矩阵乘法和阵列乘法之分。其中矩阵乘是标准的矩阵运算，而阵列乘则规定了元素对元素的运算（即点乘）。,3-2-1 信号的特征和分类,乘积运算有时也称为调制。实现乘积或调制运算的运算单元称为乘法器 或者调制器，其运算功能框图如图3-2-2所示。 相乘运算的一个应用是根据一个无限长的序列生成一个有限长的序列。 实现上只需要用一个有限长的窗函数序列与这个无限长的序列进行相乘运 算即可，这个过程就是所谓的加窗运算。,图3-2-2 序列乘积运算框
4、图,3-2-1 信号的特征和分类,序列x(n)的数乘运算是把序列的每个样本值都乘以常数a：,3数乘：,(3-2-3),这个运算也可以看作是两个信号序列x(n)和f(n) = a的乘积运算。注意该运算也是无记忆的。 实现数乘运算的运算单元同样是乘法器，其运算功能框图如图3-2-3所示。,图3-2-3 序列数乘运算框图,上述基本运算要求所有序列具有相同的长度并且定义在相同的序号n的范围内。如果参与运算的序列的长度不同，则可以对较短的序列采用插入零（样本）值的方法，使得所以序列都定义在相同的序号n的范围内。,3-2-1 信号的特征和分类,例3-2-1 设序列 ，,很明显这两个序列不能直接进行相加和相
5、乘运算。但是我们可以通过对x2(n)进行补零，使它的长度和x1(n)的长度相等，即,然后就可以进行相应运算。例如,内容安排,3-2-1 对因变量的基本运算,3-2-4 基本组合运算,3-2-2 对自变量的基本运算,3-2-3 其它基本运算,3-2-5 抽样率变换,3-2-2 对自变量的基本运算,对序列x(n)的自变量序号n进行乘系数的运算，可得：,1. 时间变换（展缩）,(3-2-4),式中k取整数且k1，离散时间序列y(n)将丢失一些样 本值。,3-2-2 对自变量的基本运算,解：序列 中令k=2将丢失序列x(n)在 时的序列样本值，因此可知：,例3-2-2 设序列 ， 试求序列,序列 和变
6、换后的 的波形如图3-2-4所示。可见由 按系数2压缩后所得到的序列 丢失了原序列的某些样本值。,3-2-2 对自变量的基本运算,图3-2-4 和变换后的 的波形,3-2-2 对自变量的基本运算,在移位运算中，x(n)的每个样本都移动k位，移位后的序列 y(n)表示为：,2. 移位,(3-2-5),上式表明，如果k 0，则x(n)被右移（延迟）k位；如果k 0，则x(n)被左移（超前）k位。换句话说，如果序列x(n)在 处开始，则移位运算后的序列将在 处开始。比如，序列 是x(n) 右移（延迟）5个单位的序列，而则 是x(n) 左移（超前）5个单位的序列。,3-2-2 对自变量的基本运算,移位
7、运算的功能框图如图3-2-5所示。,图3-2-5 移位运算的功能框图,当N=1时，实现单位延迟运算的运算单元称为单位延迟器，其运算功能框图如图3-2-6所示。,图3-2-6 序列的单位延迟运算框图,3-2-2 对自变量的基本运算,在反折（转）运算中，x(n)的每个样本都对n0翻转，从而得到一个折叠后的新序列y(n)。反折（转）运算其实是序列x(n)关于原点的一个镜像。反折运算表示为：,3反折（转）：,（3-2-6）,如果序列即有移位又有反折，比如 ，则有两种方法可由x(n)生成 ：,1）先右移后反折：先对x(n)右移 单位，得到 ，再对 反折得到 。注意，这一步仅对n进行反折运算。具体运算过程
8、可表示为：,右移 单位,反折,2）先反折后左移：先对 反折得到 ，再对 左移（超前） 位得到 。具体运算过程可表示为：,3-2-2 对自变量的基本运算,反折,左移（超前） 位,例题3-2-3,试求,3-2-2 对自变量的基本运算,例3-2-3 设离散时间序列,解：序列 的波形如图3-2-6a)所示。图3-2-6b)是将序列 向左平移3 个单位后获得的移位序列 ，再将这个中间序列 中的n变 换为2n，即可得到如图3-2-6c)所示的最终结果 。,3-2-2 对自变量的基本运算,图3-2-6 离散时间序列展缩和移位运算的顺序。a)离散时间序列 关于原点反对称；b) 向左平移3个单位后的移位序列 ；
9、c)对序列 按系数2压缩得到序列 。,注意，从中间序列v(n)压缩到y(n)=v(2n)=x(2n+3)时，v(n)=x(n+3)在n=-5和n=-1（即x(n)在n=2和n= -2）处的非零样本值丢失了。,内容安排,3-2-1 对因变量的基本运算,3-2-4 基本组合运算,3-2-2 对自变量的基本运算,3-2-3 其它基本运算,3-2-5 抽样率变换,序列x(n)的能量由下式给出：,3-2-3 其它基本运算,1序列能量：,（3-2-7）,式中上角标*表示共轭转置运算。注意，序列能量表示序列在所有时间上的能量总和，它可以是有限的，也可以是无限的。如果能量 有限，即满足 ，则称序列是能量序列。
10、,许多具有无限能量的序列只存在有限功率。离散时间序列 的 平均功率定义为：,3-2-3 其它基本运算,2序列功率：,（3-2-8）,如果在有限区间 内定义序列 的能量为,那么序列能量 可以表示为,因而序列 的平均功率可以表示为,3-2-3 其它基本运算,（3-2-9）,显然。如果序列能量Ex有限，则序列x(n)的平均功率P=0。另外，如果序列能量Ex无限，则序列x(n)的平均功率P可能是有限的，也可能是无限的。若P有限( ) ，则序列称为功率序列。 基本周期为N的周期序列的平均功率可以由下式给出：,（3-2-10）,注意，信号功率表示序列在所有时间上的平均功率，所谓功率有限信号是指满足 的序列
11、。,能量信号和功率消耗是互斥的，能量信号的平均功率为零，而功率信号的总能量则是无穷大。一般而言，周期信号和随机信号是功率信号；而确定性的非周期信号是能量信号。,例3-2-4 计算单位阶跃序列的功率及能量。 解：根据式（3-2-9）可知，单位阶跃序列u(n)具有无限能量。另外，根据式（3-2-10）可得u(n)的平均功率为： 因此，单位阶跃序列是功率序列。,3-2-3 其它基本运算,已知两个长度相同、能量有限的离散时间序列由x(n)和y(n)给出，则定义x(n)、y(n)的互相关运算为一个新序列rxy：,3-2-3 其它基本运算,3序列相关：,（3-2-11）,式中指标（变量）l 称为移位参数。
12、,如果我们取x(n) = y(n)，则上式变为：,（3-2-12）,它是式（3-14-39）的特例，称为自相关序列运算。其几何意义为序列本身及其移位之后它们自相似程度的度量。,内容安排,3-2-1 对因变量的基本运算,3-2-4 基本组合运算,3-2-2 对自变量的基本运算,3-2-3 其它基本运算,3-2-5 抽样率变换,在许多应用中，系统的功能往往是对上述基本运算进行某些形式的组 合运算。下面用例子说明组合运算。,3-2-4 基本组合运算,例3-2-5 图3-2-7是一个由基本运算单元组成的离散时间系统的框图。试分析该框图，说明系统是如何从序列x(n)生成序列y(n)。,图3-2-7 例3
13、-2-5描述的离散时间系统,解：由图3-2-7可知，序列 通过系统最左边的延时单元后输出序列是 通过系统最左边的延时单元后输出序列是 ，在通过最右边 的延时单元后输出序列是 。它们通过 的标量乘法器 后分别得到序列 和 。将它们相加得 到序列 ：,3-2-4 基本组合运算,内容安排,3-2-1 对因变量的基本运算,3-2-4 基本组合运算,3-2-2 对自变量的基本运算,3-2-3 其它基本运算,3-2-5 抽样率变换,另一种非常有用的运算是抽样率变换。抽样率变换运算对给定序列x(n)可 以获得抽样率高于后者低于x(n)的新序列。因此，如果x(n)是一个抽样率 为 的序列，希望根据它获得抽样率
14、为 的新序列y(n)，则抽样率变换 比为：,3-2-5 抽样率变换,（3-2-13）,上式中如果抽样率变换比 ，则称该过程为内插，抽样率变换将获得一个具有更高抽样率的新序列；如果抽样率变换比 ，则称该过程为抽取，抽取运算的抽样率将降低。 抽样率变换过程中的基本运算有两种：上抽样和下抽样。在整数因子 的上抽样中，上抽样器按以下关系将L-1个零样本值插入到输入 序列x(n)的两两相邻的样本之间，得到一个新的输出序列 ：,上式中 的抽样率是原序列x(n)的抽样率的L倍。,3-2-5 抽样率变换,（3-2-14）,上抽样器的框图如图3-2-6a)所示。图3-2-7给出了上抽样因子L=3时的正弦序列的上抽样运算。,图3-2-8 基本抽样率变换运算：上抽样,图3-2-9 上抽样过程，L=3,3-2-5 抽样率变换,与上抽样运算相反，整数因子 的下抽样运算通过保留序列 中每 M个样本并除去这些样本之间的M-1个样本值来实现，也就是按照如下关 系生成输出序列 ：,3-2-5 抽样率变换,（3-2-15）,该式表明，序列 的抽样率为 的抽样率的M分之一。事实上，输入序列 中所有（时间）序号等于M的整数倍数的输入样本值被保留，其它的样本值被除去。 下抽样器的框图如图3-2-10所示。图3-2-11给出了下抽样因子M=3时的正弦序列的下抽样运算。,图3-2-10
