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1、第二章 连续系统的时域分析法,时域分析法不通过任何变换，直接求解系统的微分方程。系统的分析计算全部在时间变量领域内进行。这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。,本章主要讨论微分方程的时域求解方法及解的物理含义。,本章主要内容,1. 微分方程的求解方法：全解=齐次解+特解=零输入响应+零状态响应。 2. 系统的冲激响应和阶跃响应的求解。 3. 卷积积分及其性质。 4. 零状态响应的另一种求解方法-卷积积分求法。即系统的零状态响应等于激励与系统的冲激响应的卷积积分。 5. 算子符号表示微分方程。 6. 线性系统时域分析的MATLAB仿真。,2.1 LTI连续系统的响应,一、微
2、分方程的经典解：,一般来说，如果单输入单输出系统的激励为f (t)，响应为y(t)，则描述LTI系统的数学模型是 n 阶常系数线性微分方程。,即：,其中， 均为常数，且,该方程的解由齐次解 和特解 组成， 即,齐次解 的函数形式由特征根决定 。,其中,下表列出了特征根不同值时所对应的齐次解。,其中 等为待定系数。,例：若,全解：线性常系数微分方程的全解是齐次解和 特解之和。,如果微分方程的特征根 均为实单根，则全解为:,待定系数的求法：一般n阶微分方程，利用已知的 n个初始条件y(0) , y(1)(0) , y(2)(0) y(n1)(0) ,就可求 出全部的待定系数。设f (t)在t=0时
3、接入，则全解适 合于区间0+，）。,求（1）当 时的全解； （2）当 时的全解。,解：（1）先求特征根,例2.1-1描述某LTI系统的微分方程为,查表设 ，代入原方程，得,解得：,确定待定系数：,全解为：,全解：,将 代入：,（2）齐次解同上。,设特解为：,将 代入微分方程并稍加整理，得,解得：,全解为：,*此时，不能区分P0 、C1，所以，不能区分自由响应和强迫响应。,全解为：,例2 .1-2,描述某系统的微分方程为 ：,求输入 时的全响应。,解：齐次解同上，,设特解为：,将 代入微分方程，得,确定待定系数：,* 一般输入为有始周期信号或阶跃信号且特征根有负实部时，系统全响应可分为暂态响应和
4、稳态响应两部分。,二、关于0- 和0+ 初始值,在系统分析中，我们从系统中直接获得的初始 条件往往是:,若无跳变， 时刻的值与 时刻的值相同；若有跳变， 时刻的值与 时刻的值不同，应想办法求出跳变量。,下面我们来看一道例题。,如何从 求出 呢？,根据方程两边冲激函数匹配知：,于是上式得：,对上式两端从 到 进行积分，有,思考： 如果微分方程右端不含有冲激函数及其各 阶导数，那末，,此时：,三、零输入响应和零状态响应,LTI 系统的完全响应可分为零输入响应和 零状态响应。,零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始 状态所引起的响应，用 表示。,零状态响应是指初始状态为零，仅由激励所 引起的响应，用
5、 表示。,总响应,在零输入条件下，微分方程式右端为零，化 为齐次方程。若其特征根均为单根，则其零输入 响应为：,零输入响应的求法：,零状态响应的求法：,系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是：,由 确定,式中,由 确定,由 确定,实际的系统给定的初始条件为：,如何从,如何确定待定系数,对于零输入响应，由于激励为零，故应有,对于零状态响应，在 时刻激励尚未接入，故应有,就要根据零状态响应满足的方程来确定它在 时刻有无跳变。,如何确定待定系数,应根据 来确定。,但已知的条件是：,如何从,解：（1）零输入响应,的解。,的解。,是满足,是满足,零输入响应,
6、将初始值代入：,特征方程为 ：,（2）零状态响应,应满足：,根据方程两边冲激函数匹配知：,在 连续,在 有跃变,对方程两端从 到 进行积分，有,所以，零状态响应在 时满足：,齐次解为,将 代入得：,零状态响应为,解题思路：先求出零状态响应(与上例相同），再根据,即可求出零输入响应。,解：,零输入响应为,零状态响应为,通过前面的例题可见，当方程的右端含有激励 的各阶导数时，零状态响应或其导数在t=0处可能 跃变，在求零状态响应的时候比较麻烦。实际上， 利用LTI系统的线性性质和微分特性可避免这一过 程。,解：,设仅由 单独作用于系统产生的零状态响应为 ，它满足方程：,则：,求解,又,分别求出,本节小结,1、掌握微分方程的经典求解法 2、掌握初始值的计算 3、掌握零输入响应和零状态响应的求解,
