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1、21.3次根式的加减新课指南【画说新课】【课程目标】【温故知新】1. 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项2. 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。3. 合并同类项依据：分配律。4. 分配律：a(b+c)=ab+ac , ab+ac= a(b+c)新知精讲【基础讲解】（知识点一）二次根式的加减知识详析： 拓展归纳：（1）合并被开方数相同的二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律.（2）二次根式的加减法的一般步骤：将每一个二次根式化成最简二次根式；找出其中被开方数相同的二次根式；合并被开方数相同的二次根式（3）二次根
2、式加减的注意事项非同类二次根式不能合并；二次根式的系数是带分数时，要写成假分数的形式二次根式加减运算的基础是二次根式的化简.例1计算：（1）；（2）；（3）.解析从二次根式的化简切入，然后结合分配律进行合并.（1）不含字母，但有些项含分母，难度有所上升，可综合利用商与积的算术平方根的性质简化；（2）和（3）都带有括号，可先去括号，转化成（1）类型的题目再化简. 解：（1）原式=；（2）原式=;（3）原式=（知识点二）二次根式的加减混合运算知识详析：二次根式的加减，就是合并被开方数相同的二次根式拓展归纳：合并被开方数相同的二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并被开方数相同的二次根式
3、，只把系数相加减，根指数与被开方数不变进行二次根式的加减运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律，结合律及去括号，添括号法则仍然适用.二次根式的混合运算与整式的运算之间的关系:在二次根式混合运算的过程中，每个二次根式可以看做一个“单项式”，几个被开方数不同的二次根式的和可以看做“多项式”，故二次根式的运算可以看做整式的运算.例2计算.解析从二次根式的化简入手.由于括号有指定运算顺序的作用，引导着我们先算括号内的，合并后再实施除法运算；或使用多项式除以单项式的运算法则直接计算.解：方法1:原式=;方法2：原式=.（知识点三）二次根式的混合运算知识详析：二次根式的运算包括加减、乘除和加减乘除混合
4、运算在运算的过程中，要熟练掌握运算的顺序和要适当的注意方法技巧的运用. 拓展归纳：（1）二次根式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.（2）在进行二次根式的混合运算时还要注意三点：原来学习的运算律仍然适用；原来学习的乘法公式仍然适用；运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式.例3计算：（1）（2）解析：（1）利用平方差公式计算，把看作一个整体.（2）先把分母去掉，再进行计算.解：（1）=（2）=变式练习1计算：（1）；（2）解析（1）判断几个二次根式是否能合并，必须首先将二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同（2）几个二次根式能否合并，只与
5、被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关解：（1）=;（2）=变式练习2计算：（1）（2）（ ）（）解析：进行二次根式的加减法可按一化（把二次根式化成最简二次根式）、二看（看被开方数是否相同）、三合并（把被开方数相同的二次根式进行合并）的步骤进行（1）题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：与，与被开方数相同，因此可直接进行合并解：（1）（2）原式=（）（）= +=（ ）+（+） = +变式练习3计算解析：解答本题时易出现错解如下：原式=-=.显然，由0,则得出两个正数相除结果为负的错误结果，解法有错，错就错在误用了所谓除法分配律，分配律不能在除法中随意套用.解：原式=.【难点突破
6、】二次根式的化简求值含字母的二次根式的化简和求值问题，既有较简单的问题，也有较复杂的问题，在解法上具有一定的灵活性和多样性，因此解决这类问题既有常规的一般方法，也有使用一定技巧的特殊方法（1）直接代入法直接将已知条件代入到所求的式子中，经过恒等变形得出最简结果，这种方法是直接代入法，直接代入法是最基本、最常用的方法之一（2）变形代入法“变形代入法”的关键是：对条件或结论作适当的恒等变形，一般地说，变形有以下三种情况：适当的变条件；适当的变结论；同时变条件与结论例题1已知，求代数式的值解析：先根据二次根式有意义的条件确定字母x的取值范围，再求出x、y的值，然后把代数式化简，再把x、y的值代入化简
7、后的代数式去求值解：因为和都有意义，所以所以x-8=0，即x=8，所以y=18又因为x0，y0，所以，所以当x=8，y=18时，原式【点评】在解决化简求值题的过程中, 要注意观察算式的特点,灵活运用乘法公式和运算律,从而找到最佳的计算方法.例题2已知=2-，其中a、b是实数，且a+b0，化简+，并求值解析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母中的根号化去，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简的结果即可解：原式=+,=+,=（x+1）+x-2+(x+1)+x+2,=4x+2.=2-,b（x-b）=2ab-a（x-a）, bx-b2=2ab-ax+a2,（a+b）
8、x=a2+2ab+b2（a+b）x=（a+b）2 ,a+b0 x=a+b原式=4x+2=4（a+b）+2=4a+4b+2.【点评】解题的关键有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求代数式化简或变形，有时需把已知条件和待求代数式同时变形变式练习1已知，求下列各式的值.（1）（2）解析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于x+y,x-y或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单的多.解：因为所以.（1）（2）=12.变式练习2有这样一道题，计算：的值，其中x=2013，某同学把“x=2013”错抄成“x=2010”，但他的计算结果是正确的.请回答这是怎么回事
9、？试说明理由.解析：这是一道说理型试题，既然x的值取错，计算结果仍是正确.那么可以猜测此二次根式化简后与x的值无关.解：原式因为结果中不含有x，所以某同学把“x=2013”错抄成“x=2010”，计算结果也是正确的.【应用提高】利用二次根式的运算解决实际问题 (1)在现实生活中会经常遇到二次根式的加减问题，因此本章开始就用生活实际引出二次根式.(2)二次根式的加减运算经常与勾股定理结合出题,解题时,根据勾股定理a2+b2=c2 ,以及算术平方根的性质，从而，a=,b=,c=.(3)有时利用非负数的平方根的意义也可以求方程x2=a(a0)的解. 求方程x2=a(a0)的解就是求非负数a的平方根，
10、所以方程x2=a(a0)的解是x=,或x=-，由于是实际应用题，所以把x=-舍去.利用方程x2=a(a0)解决实际问题实质上是求非负数a的算术平方根.例题1如图22-3-1所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）解析：设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值解：设x 后PBQ的面积为35平方厘米则有PB=x，BQ=2x依题意，得：x2x=35, x2=35
11、,x=.所以秒后PBQ的面积为35平方厘米PQ=5.答：秒后PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米【点评】本题虽然是运用运动变化的观点来解决实际问题，但是运用的基本知识是一定的.本题运用了直角三角形PBQ的面积公式:s=BPBQ,和直角三角形的斜边长PQ=.例题2我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为：（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：（其中）（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式推导出公式
12、？请试试.解析:本体已知两个公式,只要将三角形的三边长代入公式,化简求值即可.解：（1）又，（2）【中考链接】例题1（2012黔东南州）下列等式一定成立的是（）A、 B、 C、 D、=9解析：A、=32=1，故选项错误；B、正确；C、=3，故选项错误；D、=9，故选项错误故选B答案:B点评：此题主要考查了二次根式的有关运算,记住运算的法则即可作出判断.例题2（2012临沂）计算：=解析：原式=42=0答案：0点评：中考主要考查简单的二次根式的加减运算.先把算式中的每一项化成最贱二次根式,然后进行二次根式的加减运算.变式练习1教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给
13、老师，其中一个面积为800cm2，另一个面积为450cm2，他想如果再用金带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有长1.2m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金带够用吗？如果不够用，还需要多长的金彩带？（，结果保留整数）.解析：先根据每个正方形的面积，计算正方形的边长，再计算两个正方形的周长和，然后与1.2m比较.解：镶壁画所需的金彩带为：4(+)=4(20+15)=140197.96（cm）小明的金彩带不够用.答：小明还需要买78cm的金彩带.变式练习,2请同学们仔细观察以下各式：=2，即=2；=3，即=3.猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想.解析：解题时仔细观察二次根式的特点和运算方法.本题的思路
14、很简单，直接进行二次根式减法运算,再利用商的算术平方根的性质化简二次根式即可.解：验证：变式练习（2012江苏南通）解析：根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可解:原式=4 24+【点评】此题考查了二次根式的混合运算，在计算时要注意顺序和法则以及结果的符号【新题演练】【基础巩固】1. 化简的结果是()A3 B3 C D2.下列式子运算正确的是（ ） ABCD3.计算的结果估计在（ ）A6至7之间B7至8之间C8至9之间D9至10之间4. 已知a=,b=,则的值为（）A、3 B、4 C、5 D、65._6.（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？A3B2- C+
