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1、ThemeGallery PowerTemplate,2-9 卷积积分的性质,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,卷积积分的性质,卷积积分的性质,2-9 卷积积分的性质,卷积积分的性质,卷积积分 具有一些重要的性质。其中最常用的性质有如下3个：,交换律,结合律,分配律,内容安排,2-9-1 交换律,2-9-2 结合律,2-9-3 分配律,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,2-9-4 函数与卷积积分,2-9-1 交换律,交换律,将式（2-8-10）定义的卷积积分作 的变量代换，有 ，且 。代入式（2-8-10）可得,如果用变量 替换上式积分中的 ，则可以得到卷积积分的另一种表示形式
2、：,（2-9-1）,2-9-1 交换律,可以看出卷积积分关于输入信号和系统的单位冲激响应是对称的，这种对称性说明卷积积分满足交换律，即,（2-9-2）,卷积积分的对称性可以用图2-9-1予以说明，其中LTI系统用方框内嵌入单位冲激响应 表示。根据式（2-9-2），图2-9-1中两个系统的输出是相同的。,图2-9-1 卷积积分的对称性,内容安排,2-9-1 交换律,2-9-2 结合律,2-9-3 分配律,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,2-9-4 函数与卷积积分,2-9-2 结合律,结合律,上式的证明只需要改变积分顺序并进行变量代换。结合律可用图2-9-2给出的系统级联关系予以说明。对于L
3、TI级联系统而言，改变子系统的级联顺序对系统的单位冲激响应（输入-输出特性）没有影响。,结合律是指三个以上（含三个）函数的卷积积分与函数的卷积顺序无关。比如,（2-9-3）,2-9-2 结合律,容易证明，对于级联M个子系统的组合系统，其组合系统的单位冲激响应为,图2-9-2 结合律与系统的级联,（2-9-4）,内容安排,2-9-1 交换律,2-9-2 结合律,2-9-3 分配律,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,2-9-4 函数与卷积积分,2-9-3 分配律,分配律,上式的证明利用式（2-8-10）定义的卷积积分直接可以得到。,分配律是指三个以上（含三个）函数的组合卷积运算满足如下关系,（
4、2-9-5）,分配律可用图2-9-3给出的系统并联关系予以说明。,图2-9-3 分配律与系统的并联,2-9-3 分配律,综上所述，系统的单位冲激响应可以完全描述LTI系统的输入-输出特性，而且利用卷积积分的交换律、结合律和分配律还能够方便地确定LTI组合系统的冲激响应。,对于LTI并联系统而言，并联M个子系统的组合系统，其组合系统的单位冲激响应为各个子系统单位冲激响应之和，即,（2-9-6）,2-9-3 分配律,例2-9-1 试求图2-9-4a)给出的组合系统的单位冲激响应。,图2-9-4,2-9-3 分配律,结果图2-9-4b)所示。在图2-9-4b)中，子系统 与 是级联关系，因此该级联系
5、统的单位冲激响应为,解：确定组合系统的单位冲激响应，首先根据图2-9-4a)，求出并联子系统 和 的冲激响应为,2-9-3 分配律,结果如图2-9-4c)所示。显然，并联子系统 和 的单位冲激响应为,结果如图2-9-4d)所示。,内容安排,2-9-1 交换律,2-9-2 结合律,2-9-3 分配律,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,2-9-4 函数与卷积积分,2-9-4 函数与卷积积分,若系统的激励为单位冲激信号，前面已经推导出卷积积分的一个重要性质，即当 时， 。又根据系统单位沖激响应的定义，系统的输出就是冲激响应 ：,函数与卷积积分,（2-9-7）,这个性质显然与 的形式无关。因此，任
6、意函数 与单位冲激函数卷积积分的结果仍然是函数 本身。利用系统的时不变特性，式（2-9-7）可进一步表示为,（2-9-8）,2-9-4 函数与卷积积分,（2-9-9）,（2-9-10）,如果针对任意函数 ， 函数与 的卷积积分为,和,内容安排,2-9-1 交换律,2-9-2 结合律,2-9-3 分配律,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,2-9-4 函数与卷积积分,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,前面已经提到，单位冲激响应 表征了一个LTI系统的时域特征。换言之， 完全描述了系统的输入-输出特性。下面将证明，LTI系统的单位冲激响应 可以由所谓的单位阶跃响应来求出。,根据卷积积分的定义
7、式（2-8-10），如果已知 ，那么这个系统对于任何输入 作用下的系统响应 为,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,若设系统的输入信号 为单位阶跃信号 ，则系统 在作用下的响应就称之为单位阶跃响应，用 表示。因此，系统的单位阶跃响应 应为,考虑到卷积的交换律，有,（2-9-11）,（2-9-12）,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,由于 （或 ）时， ，故式（2-9-12）显然又可以表示为,（2-9-13）,由上式可以看出，系统的单位阶跃响应 可以通过对单位冲激响应 的积分直接得到，或者由式（2-9-13）也可直接看出系统的单位冲激响应 是其单位阶跃响应 的一阶导数，即,（2-9-14）,因此，在连续时间情况下，一个系统的单位冲激响应可以直接利用阶跃响应计算得到，所以单位阶跃响应也可以完全刻画系统的时域特性。,例2-9-2 设某系统地单位冲激响应如下，求系统的单位阶跃响应。,解：注意这是一个因果系统。根据式（2-9-13），系统的单位阶跃响应为,该结果可以利用冲激响应和阶跃响应之间的关系式（2-9-16）来验证。根据式（2-9-16），有,2-9-5 单位阶跃函数 与卷积积分,
