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1、第2章 力系的平衡问题,第1节 平面力系的简化 第2节 平面力系的平衡 第3节 物体系统的平衡 *第4节 考虑摩擦的平衡问题 *第5节 空间力系的平衡,返回,下一页,上一页,第1节 平面力系的简化,如果在一个力系中，各力的作用线均匀分布在同一平面内，但它们既不完全平行，又不汇交于同一点，那么，我们将这种力系称为平面一般力系，简称平面力系。平面力系的研究与讨论，不仅在理论上，而且在工程实际中都有着重要的意义。首先，平面力系概括了平面内各种特殊力系，同时又是研究空间力系的基础。其次，平面力系是工程中最常见的一种力系，如在不少实际工程中的结构（或构件）和受力都具有同一对称面，此时作用力就可简化为作用
2、在对称面内的平面力系。如果平面力系中各力的作用线均汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系；如果平面力系中各力的作用线均相互平行，则此力系称为平面平行力系；如果平面力系仅由力偶组成，则此力系称为平面力偶系。,返回,下一页,上一页,第1节 平面力系的简化,在作用效果等效的前提下，用最简单的力系来代替原力系对刚体的作用，称为力系的简化。为了便于研究任意力系对刚体的作用效应，常需进行力系的简化。,返回,下一页,上一页,对刚体而言，根据力的可传性原理，力的三要素为力的大小、方向、作用线。无论改变力的三要素中任意一个，力的作用效应都将发生变化。如果保持力的大小、方向不变，而将力的作用线平行移动到同一刚体的任
3、意一点，则力对刚体的作用效应必定要发生变化；若要保持力对刚体的作用效应不变，则必须要有附加条件。,一、力向一点平移,返回,下一页,上一页,F,F“,d,M,M=Fd=MB(F),作用在刚体上的力可以平移到刚体上任意一个指定位置，但必须在该力和指定点所决定的平面内附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。这个结论称为力的平移定理。,一、力向一点平移,返回,下一页,上一页,F,F“,d,M,根据力向一点平移的逆过程，总可以将同平面内的一个力F和力偶矩为M的力偶简化为一个力F，此力F与原力F大小相等、方向相同、作用线间的距离为d=M/F，至于F在F的哪一侧，则视F的方向和M的转向而定。,一、力
4、向一点平移,返回,下一页,上一页,例2-1 钢柱受到一10kN的力作用，如图所示。若将此力向钢柱中心线平移，得到一力和一力偶。已知力偶矩为800Nm，求原力至中心线的距离d。,解 根据力的平移定理，力的大小方向不变。附加力偶矩M等于力对钢柱中心线的力矩。,例2-1,M=MO(F)= Fd,返回,下一页,上一页,x,y,O,O为简化中心,二、平面力系向一点的简化,FR = F1+ F2+ Fn= F1+F2+ Fn =Fi,F1,F2,Fn,M1,M2,Mn,MO,FR,MO=M1+ M2+ Mn= MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn) MO =MO(Fi) （2-2）,（2-1）,主矢
5、,主矩,返回,下一页,上一页,x,y,O,二、平面力系向一点的简化,FRx = F1x+ F2x+ Fnx= F1x + F2x + Fnx =Fx FRy = F1y + F2y + Fny= F1y + F2y + Fny=Fy,F1,F2,Fn,M1,M2,Mn,MO,FR,MO =MO(F),返回,下一页,上一页,二、平面力系向一点的简化,从式（2-1）可知，由于原力中的各力的大小和方向都是一定的，它们的矢量和也是一定的；即对一个已知力系来说，主矢与简化中心位置无关。从式（2-2）可知，力系中各力对不同的简化中心的矩是不同的，力系的主矩一般与简化中心的位置有关，符号中的下标O就是表示简
6、化中心为O。,返回,下一页,上一页,二、平面力系向一点的简化,平面一般力系向作用面内任意一点简化的结果，一般是一个力和一个力偶。这个力的作用线通过简化中心，其大小和方向决定于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢，与简化中心的具体位置无关；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，即等于原力系对简化中心的主矩，它一般随简化中心位置的变化而变化。,返回,下一页,上一页,二、平面力系向一点的简化,平面力系向一点简化所得到的主矢和主矩，并不是该力系简化的最终结果。因此有必要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的几种情况作进一步的讨论。,返回,下一页,上一页,二、平面力系向一点的简化,1)
7、 FR=0、MO0 此时原力系只与一个力偶等效，此力偶称为原力系的合力偶。所以原力系简化的最后结果是一个合力偶，其矩等于原力系各力对简化中心O的主矩MO(Fi)，此主矩与简化中心的位置无关。因为根据力偶的性质，力偶矩与矩心的位置无关，也就是说原力系无论是对哪一点进行简化，其最后结果都是一样的。,返回,下一页,上一页,二、平面力系向一点的简化,2) FR 0 、 MO= 0 此时原力系只与一个力等效，此力称为原力系的合力。所以原力系简化的最后结果是一个合力，它等于原力系的主矢Fi，作用线通过简化中心。如果用FR表示合力，则有 FR = FR =Fi,返回,下一页,上一页,二、平面力系向一点的简化
8、,3) FR 0 、 MO 0 此时可根据力的平移定理的逆过程，将作用线通过O点的力FR及矩为MO的力偶合成为一个作用线通过A点的一个力，此力称为原力系的合力。如图所示，且有 FR = FR =Fi 合力作用线到O点的距离d为,FR,F“R,d,合力FR 是在主矢FR的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定 。,返回,下一页,上一页,二、平面力系向一点的简化,从以上讨论2)、3)可知，只要力系向某一点简化所得的主矢FR不等于零，则无论主矩MO是否为零，最终均能简化为一个合力FR。,4) FR =0 、 MO = 0 此时原力系是一个平衡力系。关于平衡力系将在下一节进行讨论。,返回,下一页,上一页,
9、例2-2 将图所示平面任意力系向O点简化，求其所得的主矢及主矩，并求力系合力的大小、方向及合力与O点的距离d。并在图上画出合力之作用线。图中方格每格边长为5mm，F1=5N，F2=25N，F3=25N，F4=20N，F5=10N，F6=25N。,例2-2,Fx = F1x + F2x + F6x,Fy = F1y + F2y + F6y,解 (1) 向O点简化,返回,下一页,上一页,(2) 力系的合力 力系的合力大小与主矢的大小相等，方向与主矢平行。合力的作用点至O点的距离为,d,Fx =-10N,MO =MO(F) = 5N20mm15N30mm20N20mm +20N20mm = 550
10、Nmm,主矢与x轴的夹角为=45,解(1) 向O点简化,Fy =10N,FR,FR,MO,返回,下一页,上一页,一、平衡条件 二、平衡方程 三、平面力系的几个特殊情况,第2节 平面力系的平衡,返回,下一页,上一页,平面力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任意一点O的主矩均为零，即,一、平衡条件,FR 0 MO 0,第2节 平面力系的平衡,（2-3）,返回,下一页,上一页,二、平衡方程,投影方程,Fx0 Fy0 （2-4） MO(F)0,力矩方程,基本形式,第2节 平面力系的平衡,平面力系平衡的必要和充分条件是，力系中各力在任意两个相交坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对任意一点之矩的代数和
11、也等于零。,返回,下一页,上一页,二、平衡方程,MA(F)0 MB(F)0 （2-6） MC(F)0,二力矩形式,Fx0 MA(F)0 （2-5） MB(F)0,其中A、B、C三点不共线,三力矩形式,其中A、B两点的连线不与x轴垂直,返回,下一页,上一页,平面力系的平衡方程虽然有上述的三种不同形式，但必须强调的是，一个在平面力系作用下而处于平衡状态的刚体，只能有三个独立的平衡方程式，任何第四个平衡方程都只能是前三个方程的组合，而不是独立的。 在实际工程中应用平衡方程进行分析问题时，应根据具体情况，恰当选取矩心和投影轴，尽可能使一个方程中只包含一个未知量，避免解联立方程。另外，利用平衡方程求解平
12、衡问题时，受力图中未知力的指向可以任意假设，若计算结果为正值，表示假设的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。,返回,下一页,上一页,例2-3 在图示结构中，横梁AC为刚性杆，A端为铰支，C端用一钢索BC固定。已知AC梁上所受的均布荷载集度为q = 30kN/m，试求横梁AC所受的约束力。,解（1）取梁AC为研究对象,例2-3,（3）建立坐标系 （4）列平衡方程并解之,（2）画受力图,x,FAx,FAy,FT,y,返回,下一页,上一页,（4）列平衡方程并解之,FT0.64m 30kN/m4m2m = 0,FT =100kN,Fy0 100kN0.6 30kN/m4
13、m + FAy= 0 FAy60 kN （） Fx0 100kN0.8+ FAx = 0 FAx = 80 kN （）,返回,下一页,上一页,例2-4 试计算图示三种支架A、C两处的约束反力。,解(1)取杆AD为研究对象，画出受力图,例2-4,（2）建立坐标系 （3）列平衡方程并解之,Fy0 FAy 10kN = 0 FAy = 10 kN （）,x,y,MA(F)= 0 FBC2mcos4510kN4msin45 = 0 FBC = 20 kN （拉） Fx0 FAx 20kN = 0 FAx = 20kN （）,返回,下一页,上一页,Fx0 FAx 28.28kNcos45 = 0 FAx
14、 = 20kN （） Fy0 28.28kNsin45 10kN + FAy= 0 FAy = 10 kN （）,例2-4 试计算图示三种支架A、C两处的约束反力。,解(1)取杆AD为研究对象，画出受力图,（2）建立坐标系 （3）列平衡方程并解之,MA(F)= 0 FBC2msin45 10kN4m = 0 FBC = 28.28 kN （拉）,x,y,返回,下一页,上一页,Fx0 FAx+ 28.28kNcos45 = 0 FAx = 20kN （） Fy0 FAy 10kN + 28.28kNsin45 = 0 FAy = 10 kN （）,例2-4 试计算图示三种支架A、C两处的约束反力
15、。,解(1)取杆AD为研究对象，画出受力图,（2）建立坐标系 （3）列平衡方程并解之,MA(F)= 0 FBC2msin4510kN4m = 0 FBC = 28.28 kN （压）,x,y,返回,下一页,上一页,三、平面力系的几个特殊情况,在平面力系中，各力作用线交于一点的力系，称为平面汇交力系。,1.平面汇交力系,返回,下一页,上一页,1.平面汇交力系,一个平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知数,Fx0 Fy0,根据力系简化结果可知，汇交力系与一个力（力系的合力）等效。由平面力系平衡条件的一般形式（2-4）可知，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：力系的合力等于零，或力系的主矢等于零，,（2-7）,返回,下一页,上一页,例2-5 缆绳AC悬挂一吊有重物W的动滑轮B，如图所示。已知重量W及l、h，并忽略摩擦和滑轮的大小。试求：（1）平衡重量W所需的力F；（2）若l=3m，W=4.8kN，且缆绳的最大许可张力为20 kN，求h的最小允许值。,解 取滑轮B为研究对象，作受力图。 因不计
