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1、信号与系统,2,第7章 连续时间系统的频域分析,7.1 引言 7.2 频率响应 7.3 周期信号激励下系统的响应 7.4 非周期信号激励下系统的响应 7.5 无失真传输 7.6 理想低通滤波器的响应,3,本章学习的内容,本章系统地介绍了连续时间系统的频域分析法。首先引出了连续时间系统的频率响应；然后讨论了线性系统对于非周期信号和周期信号的响应，并引出了无失真传输的条件；最后介绍了线性时不变系统在滤波方面的应用，分析了理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应。,4,7.1 引言,线性时不变连续时间系统的频域分析是 依据线性系统的叠加性和齐次性，运用傅里 叶级数或傅里叶变换，将信号分解成一系列 离散的或
2、连续的复指数信号之和。 对于周期信号 ，有：,5,7.1 引言,且 式中， 。 对于非周期信号 ，有：,6,7.1 引言,且 将这些基本复指数信号作用于系统，并对所 得的响应取和，即可得出系统对于信号的完 整响应。,7,7.1 引言,频域分析法是把系统的激励和响应关 系应用傅里叶变换，从时域变换到频域来 研究，从处理时间变量转换成处理频率变 量，从求解系统的微分方程转化为求解代 数方程，通过频率响应来研究响应的频率 特性和系统的功能。,8,7.2 频率响应,设LTI系统的冲激响应为 ，则当激 励是角频率为 的虚指数函数 时，其零状态响应为： 表明，当激励是幅度为1的虚指数信号 时，系统的响应是
3、系数为 的同频率虚 指数信号。,9,7.2 频率响应,当激励为任意信号 时，令系统响 应 的频谱函数为 ，则有： 冲激响应 反映了系统的时域特性， 而频率响应 反映了系统的频域特性， 二者的关系为：,10,7.2 频率响应,频率响应可定义为系统零状态响应的傅 里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即： 可写为：,11,7.2 频率响应,令 则有：,12,7.2 频率响应,是输出与输入信号的幅度之比，称为幅 频特性（或幅频响应）； 是输出与输入信号 的相位差，称为相频特性（或相频响应）。 例：如下图所示的简单的 串联电路，若激 励电压源 为单位阶跃信号 ，求电容电压 的零状态响应。,13,7.2 频率
4、响应,解： 系统的频率响应为： 单位阶跃信号的傅里叶变换为：,14,7.2 频率响应,系统零状态响应的频谱函数为： 考虑到冲激信号的取样性质，得：,15,7.2 频率响应,对上式取傅里叶逆变换，得输出电压 为： 式中， 。,16,7.3 周期信号激励下系统的响应,7.3.1 虚指数信号通过线性系统 7.3.2 正弦信号通过线性系统 7.3.3 非正弦周期信号通过线性系统,17,7.3.1 虚指数信号通过线性系统,一个单位冲激响应为 的线性时不变 系统，若有激励信号 系统对这一基本信号的零状态响应为： 所以，当虚指数信号 通过线性系统时， 其零状态响应就是用 乘以 。,18,7.3.2 正弦信号
5、通过线性系统,若线性系统的激励为正弦信号 则系统的零状态响应为： 所以，线性系统对正弦激励的响应为与激励 同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与 模值的乘积，其相位为激励的初相位 与 相位的和。,19,7.3.3 非正弦周期信号通过线性系统,周期为 的非正弦周期信号 可展 开为： 式中，,20,7.3.3 非正弦周期信号通过线性系统,系统的零状态响应为： 式中， ， 。 所以，当周期信号作用于线性系统时， 其零状态响应仍为周期信号，且周期和激励 信号相同。,21,7.3.3 非正弦周期信号通过线性系统,例：下图(a)所示RL串联电路，响应为电流 ，激励为电压 。其中， ，,（1）求 （2）若激励
6、 如图 (b)所示，求其响应,22,7.3.3 非正弦周期信号通过线性系统,解： （1）当 时，系统的冲激响应为： 故 （2）若激励 为图(b)所示波形，有 ， 可表示为：,23,7.3.3 非正弦周期信号通过线性系统,或 电流响应为：,24,7.4 非周期信号激励下系统的响应,非周期信号通过线性系统的响应与周期 信号不同。由于非周期信号对系统的激励是 有确定时间的，所以对于零状态系统，其响 应只含零状态响应，其中既有稳态分量，也 有随时间衰减的暂态分量。若系统的初始状 态不为零，则其响应还应包含零输入响应分 量。,25,7.4 非周期信号激励下系统的响应,当线性时不变系统的单位冲激响应为 ，
7、激励为 时，系统的零状态响应为： 对上式两端进行傅里叶变换，可得： 即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率 响应函数与激励的频谱函数之乘积。,26,7.4 非周期信号激励下系统的响应,例：某线性时不变系统的冲激响应 ，求激励信号 时系统的零状态响应。 解：,27,7.4 非周期信号激励下系统的响应,28,7.5 无失真传输,7.5.1 无失真传输的定义 7.5.2 无失真传输的条件,29,7.5.1 无失真传输的定义,从时域来看，信号的无失真传输是指系 统的输出信号与输入信号相比，只有幅度大 小和出现时间先后的不同，而没有波形上的 变化。设输入信号为 ，那么经过无失真 传输，输出信号应该为：
8、,30,7.5.1 无失真传输的定义,从时域来看，信号的无失真传输是指系 统的输出信号与输入信号相比，只有幅度大 小和出现时间先后的不同，而没有波形上的 变化。设输入信号为 ，那么经过无失真 传输，输出信号应该为：,31,7.5.1 无失真传输的定义,无失真传输系统的频率响应为： 其幅频响应和相频响应分别为：,32,7.5.2 无失真传输的条件,为了做到无失真传输，频响函数必须具 备以下两个条件： （1）要求系统在全部频率范围内为常数，即 系统的通频带应为无穷大； （2）要求系统的相频特性应为通过原点的直 线，即 在整个频率范围内与 成正比。,33,7.5.2 无失真传输的条件,无失真传输系统
9、的幅频特性和相频特性,34,7.5.2 无失真传输的条件,例：要使下图所示电路为一个无失真传输系 统，激励为正弦稳态信号， ， 。 试确定 和 的值。,无失真传输系统,35,7.5.2 无失真传输的条件,解：,36,7.5.2 无失真传输的条件,该电路为一个无失真传输系统，所以满足 可见，当 时，可满足此条件，即,37,7.6 理想低通滤波器的响应,7.6.1 理想低通滤波器的冲激响应 7.6.2 理想低通滤波器的阶跃响应,38,7.6.1 理想低通滤波器的冲激响应,一个系统，如果其频率响应函数 对 不同频率成分的正弦信号，有的让其通过，有 的予以抑制，则该系统称为滤波器。具有下图 所示幅频和相频特性的滤波器称为理想低通滤 波器。,理想低通滤波器的幅频特性和相频特性,39,7.6.1 理想低通滤波器的冲激响应,理想低通滤波器的频率响应函数为： 对上式直接求傅里叶逆变换则可得到理想低通 滤波器的冲激响应，即 可见，冲激响应的波形是抽样函数。,40,7.6.1 理想低通滤波器的冲激响应,若取 ，则其波形如下图所示：,理想低通滤波器的冲激响应,41,7.6.2 理想低通滤波器的阶跃响应,设理想低通滤波器的阶跃响应为 ，阶 跃响应 和冲激响应 有如下关系： 所以得： 理想低通滤波器的阶跃响应为：,
