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1、五 、商群 设H;是群G;的子群，对任意a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H，记为ab(mod H)。 a=x|xG,且xa(mod H)= x|xG,且 xa-1 H, Ha=a=ha|hH 设“”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。 若对任意a,b,c,dS ，当ab,cd时，必有acbd，则称等价关系与运算 是相容的，称为代数系统S;的相容等价关系。,H1 ,为三次对称群S3 ,上的子群, H1=e,1, “”为模H1同余关系 则2 4, 3 5, 但23与45不是模H1同余的 该等价关系关于运算是不相容的 事实上主要是因为H1 ,不是正规子群,引理(一)：H;是群G;
2、的正规子群，定义关系如下：对任意a,bG，ab当且仅当ab-1H。则“”关于为相容等价关系。 分析:关键是证明对任意a,b,c,dG,若ab, cd,必成立acbd. 就是要证明 (ac)(bd)-1H 应利用ab-1H和cd-1H 特别还要用到正规子群这个条件 定义13.16:把“”下的等价类全体构成的集合，即子群H的所有右陪集全体构成的集合，称为商集，记为G/H。,在相容条件下，我们定义如下： 对任意g1=Hg1,g2=Hg2G/H, Hg1Hg2=H(g1*g2) 引理13.3: H;是群G;的正规子群，则是G/H上的运算。 对任意a,b, ab=ab，则由关于的相容性，保证运算的结果与
3、等价类的选取无关。 引理13.4：H;是群G;的正规子群，则G/H;是群。 证明:结合律 单位元:设e为群G;,则He=HG/H为 G/H;的单位元 逆元:对任意HaG/H,有逆元Ha-1G/H,关于H的商群 定义13.17:G;*为群,H;*为其正规子群, G/H为G关于H的商集合,为G/H上关于陪集的运算, 则 G/H;是群,称为G关于H的商群。 在G是有限阶的群时,G/H的阶必有限, 且等于正规子群H在G中的指数,即|G|/|H|。,4 群的同态与同态基本定理,一、群同态 设有两个代数系统S;*与T;, 如果存在到上映射:ST,使得对任意的a,bS,有:(a*b)=(a)(b)，称S;*
4、与T;两 个系统同态。如果是双射,则S;*与 T;同构。,例(Cayley(凯莱)定理)：任一有限群必同构于一个同阶的置换群。 证明:设G;为有限群. 若G;是置换群, 则G;与自己当然同构. 下面考虑G;不是置换群,那么就应构造与G;有一定联系的置换群,使得它们同构. 对任意gG,定义映射g:GG,使得对任意gG,有g(g) =gg。设=g|gG 则由例13.13知;是置换群。 下面证明G与;同构 构造G的同构映射:(g)=g,二、群同态基本定理 1.同态核与同态象 在群G中，a,bG,若ab=a，则b=e(单位元) ab=a=ae，由消去律可得b=e。 引理：G;*和G;为群, 为GG的同
5、态映射(不一定满射),则(e)一定是G;的单位元. 证明:因为(G),设x(G)G, 存在aG,使得x=(a) 因为x(e)=x=xeG, 利用群满足消去律即得(e)=eG. 该结论对不是群的代数系统不一定成立.,定义13.18: 为群GG的同态映射,e,e分别为G,G之单位元。集合K=xG| (x)=e,称K为同态映射的核,又称同态核, 记为Ker, 简记为K()。 K,这是因为(e)=e,即eK. 例:R-0;*和-1,1;*为群,定理：为群G;*G;的同态映射,则 (1)Ker; *为G;*的正规子群。 (2)为一对一当且仅当K=eG (3)(G); 为G;的子群。 证明:(1)先证明Ker是子群 封闭:对任意a,bKer,有a*b?Ker, 即证(a*b)=?eG 逆元:对任意aKer,它在G中的逆元,a-1? Ker 然后证明对任意gG,aKer有 g-1*a*g?Ker,测验： 1.在NN上定义运算“&是否为拟群、群？是否满足交换律？ 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x，若axax则必有x x。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 作业P172 34，40,
