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1、第一节 函数及其性质,一、函数的概念,二、函数的表示法,三、函数的几种特性,1.常量与变量,在某过程中不发生变化而保持一定数值的量称为常量;在某过程中可以取不同数值的量称为变量.常量通常用字母 等表示,变量通常用字母 等表示.,2.函数的概念,定义1 设 是两个变量, 是一个给定的数集.如果有一个对应法则 ,使得对于每一个数值 ,变量 都有唯一确定的数值与之对应,则称变量 是变量 的函数,记为 其中 称为自变量, 称为因变量.集合 称为函数的定义域,记为 .,当自变量 取数值 时,与 对应的 的值称为函数 在点 处的函数值,记为 或 ,函数值组成的数集称为函数的值域,记为 .,函数的两要素:定
2、义域 和对应法则 .如果两个函数具有相同的定义域和对应法则,那么它们是相同的函数.,例1 下列函数是否相同，为什么？,解 与 不是相同的函数,因为定义域不同., 与 是相同的函数,因为定义域与对应法则都相同.,注 求函数定义域时应注意的一般规律 开偶次方,根号内的表达式不小于零; 对数中的真数必须大于零; 分式中的分母不能为零; 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能 大于1; 分段函数的定义域是各段定义域的并集.,1.解析法,例2 作自由落体运动的物体下落时间为 ,下落的距离为 ,假定开始下落的时刻为 ,那么 与 之间的依赖关系由下式给出:,当时间 变化时,距离 作相应的变化.,图1,2.
3、表格法,例3 某炼钢厂上半年生产的钢产量如下表，这里的时间 (月)和产量 (吨)之间是两个相互依赖的变量.,对每个月份 ,都有唯一一个与 相应的产量 .,3.图像法,例4 某自动记录仪记录的某电容放电的电容情况,如图2所示的曲线.,图2,根据此曲线,就可知道某电容随时间的变化情况.,1.函数的奇偶性,设函数 的定义域 关于原点对称,对于任意的 ,若 ,则称 为奇函数;若 ,则称 为偶函数.,注 奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像 关于 轴对称; 一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数, 如函数 .,2.函数的周期性,设函数 的定义域为 ,如果存在一个常数 ,使得对任意 有 ,且 ,则称函数
4、 为周期函数, 称为 的周期.,显然,若 是周期函数 的周期,则 也是 的周期 ,通常说的周期就是最小正周期.,如函数 和 都是以 为周期的周期函数.,3.函数的单调性,设函数 在区间 上有定义,对 内的任意两点 ,当 时,若有 ,则称 在 上是单调增加的;若有 ,则称 在 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间 .,如函数 在 内是单调增加的,函数 在 内是单调减少的.,4.函数的有界性,设函数 在区间 上有定义,如果存在正常数 ,使得对于区间 内所有 ,恒有 ,则称函数 在区间 上有界.如果这样的 不存在,则称 在区间 上无界.,如函数 在区间 内是有界的.这是因为对于任意的 都有 成立.而函数 在区间 内是无界的.,
