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1、ThemeGallery PowerTemplate,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,国家“十二五”规划教材信号与系统,内容安排,吉布斯(Gibbs)现象,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,图4-2-4和图4-2-6指出这样一个事实，当用截断的傅立叶级数（即,近似函数 f(t) 时，项数 N 取的越多，截断傅立叶 级数对于信号f(t)的近似程度就越好。针对一般情况，当函数 f(t)用 有限项傅立叶三角级数展开，即,则在理论上当,时，可以预期用上式定义的傅立叶三角级数 （等式右端）对信号 f(t)（等式左端）进行建模（或逼近），其建模 误差将随着,的无限增加而趋于零。这个结论对于信号的所有连续
2、 点都是成立的。,有限求和项）,（4-4-1）,但是，截断傅立叶级数虽然提供了对 f(t) 的合理逼近，但在函数 的展开区间的端点，却存在一个差值。根据傅立叶级数理论（定理 4-2-1），若周期信号 f(t) 在,处存在一个不连续点，则当,时,将收敛到信号在该不连续点的中点值（平均值），即，当,时，,收敛到,。除此之外，在这个 不连续点的任意小的邻域内还有一个小的振荡衰减波纹存在，这个 现象是由W吉布斯（Willard Gibbs）在1899年首次发现的，因此被 称为吉布斯现象。下面将证明，不论 f(t) 的近似值,取多少项,（谐波），在信号跳变点的一个邻域内存在的振荡衰减波纹比函数幅,值几乎
3、高出18%。,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,设函数 y=f(t )在 t=a 处有一间断点，如图4-4-1所示。,图4-4-1 函数 y=f(t) 在t=a 处有一间断点,又设,（4-4-2）,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,引入函数G(t)，当,时它取值为-1，而当,时取值,它的傅立叶级数展开是,现设函数 f(t)由下式给出,其中,是在 t=a 处不再有间断的函数，,为+1，即,（4-4-5）,（4-4-4）,（4-4-3）,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,因此，研究函数 f(t)的展开式在 t=a 处性质的问题，就转化成研究 G(t) 在零点附近的
4、性质问题。,G(t) 在零点（t=0）取值+1还是 -1，取决于 t 是从零点（t=0）左侧 还是右侧趋于零。但级数展开却一致性趋于零，这是因为级数展开 是 t 的连续函数，在t=0处不可能使函数取不同的值。 考察 G(t)展开式的前 N 项的和,，即,由于,，故上式又为,（4-4-7）,（4-4-6）,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,根据角度成等差级数的 m 个余弦函数求和公式，有,于是,由式（4-3-9）可知，,在,时有极小值，即,的极大、极小值可以给出如下,（4-4-10）,（4-4-9）,（4-4-8）,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,曲线,是在纵坐标,上下波动，如图 4-2-2 所示。,容易看出，波形上最大值就是第一个峰值，显然它就是,的极大值，其纵坐标为,（4-4-11）,4-4 吉布斯(Gibbs)现象,式中设y=2Nt。,对于式（4-3-11）中N的大值及 t 的小值，可以用,近似,故当,和,时，第一个极大值的纵坐标的极限为,式中,是正弦积分函数。注意，上式取值并不等于1。 综上所述可以得到结论：三角级数所代表的函数，当它们通过 间断点时将会出现一个跳跃（过冲），这个跳跃（过冲）量大约是 函数幅值的1.18倍，也就是说比函数幅值几乎高出18%（不是有些 教科书中给出的9%）。,（4-4-12）,
