《信号与系统 教学课件 ppt 作者 王瑞兰第3章 傅里叶变换和系统的频域分析 第三章(1)连续信号的傅里叶级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统 教学课件 ppt 作者 王瑞兰第3章 傅里叶变换和系统的频域分析 第三章(1)连续信号的傅里叶级数（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 傅里叶变换和系统的频域分析,3.1 信号分解为正交函数 3.2 傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） 3.5 傅里叶变换的性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 LTI连续系统的频域分析 3.8 取样定理,本章主要内容:,变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组
2、合。,3.1 信号分解为正交函数,（2）正交函数集 在区间 上的n个函数（非零） ,其中任意两个均满足 为常数，则称函数集 为区间 内的正交函数集。,（1）正交函数 在 区间上定义的非零实函数 和 若满足条件 则函数 与 为在区间 的正交函数。,一、正交函数集,（3）完备正交函数集,在区间 内组成完备正交函数集。,对于复函数:,若复函数集 在区间 满足,，则称此复函数集为正交函数集。,复函数集 在区间 内是完备的正交函数集。,其中 。,二、信号分解为正交函数,根据最小均方误差原则，可推出：,式中：,3.2 傅里叶级数,将周期信号,在区间,内展开成完,备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函
3、数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅 里叶级数”，统称为傅里叶级数。,一、周期信号的分解,其中 称为傅里叶系数， 。,那么,傅里叶系数如何求得呢?,由上式可见， 是 的偶函数 ， 是 的奇函数，,则有,可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直 流分量 ，一次谐波或基波 ，它的角 频率与原周期信号相同，二次谐波 ， 以此类推，三次，四次等谐波。,一般而言 称为 次谐波 ， 是 次谐波的振幅， 是其初相角。 *结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。,例3.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。,解：,它仅含有一、
4、三、五、七 等奇次谐波分量。,如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。,（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。,（3）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。 (吉布斯现象）,主体 -低频 细节-高频,若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而式计算较为简便。,（1） 为偶函数,则有 ，波形对称于纵坐标。,二、奇偶函数的傅里叶系数,从而有,进而有,这时有,实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。,其中,*一个函数是奇函数还是偶函数
5、不仅与其波形有关，而且与原点的选择有关。,此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量。即,（3） 为奇谐函数,例3.2-2 正弦交流信号 经全波或半波整流后的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。,（a）全波整流信号 （b）半波整流信号,解 （1）全波整流信号,图（a）的全波整流信号可写成（其周期 ， 为原正弦信号角频率 ）,由于它是t的偶函数，故 ，,可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。,想一想：本题中若把 f1(t)看成以T/2为周期，则,由于它仍是的偶函数，故 ，,令 ，则 对上式进行变量替换:,（2）半波整流信号,图（b）的半波整流信号可写为（其周期
6、）,它的傅里叶级数可直接由下式求出,本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：,讨论 关于n的奇偶性。,是n的偶函数。,是n的奇函数。,是n的偶函数。,是n的奇函数。,三、傅里叶级数的指数形式,将上式第三项中的 用 代换，并考虑到 是 的偶函数，即 ； 是 的奇函数, 则上式可写为 :,如将上式中的 写成 （ ）， 则上式可以写成:,令复数量 ，称其为复傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为 ， 则得傅里叶级数的指数形式为,复傅里叶系数,这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式。,任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相量）为 。,与 互为共轭。,与 的关系。,三角形式傅里叶级数：,指数形式傅里叶级数：,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函 数或虚指数函数之和。,复傅里叶系数 与 ， ， 的关系,本节小结,1、傅里叶级数的两种形式 2、傅里叶系数的奇偶性,三角形式 指数形式,
