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1、第九章 直 线 方 程,在初中代数里我们已经学习过,在平面直角坐标 系内,可以用一对有序实数来表示平面上一点的位置。反之,对于任何一个有序实数对,在平面内都可以确定一个点。这里将进一步讨论用代数的方法来研究平面内的直线及性质。 本章先介绍两个重要公式,然后学习直线方程的概念及直线的有关性质。,第一节 一次函数与直线,一、两个重要公式,1. 两点间距离公式,A、B两点间距离记为 AB ,表示线段AB的长度。 根据两点 的坐标,就可求出平面内两点间的距离。,在平面内,当A、B两点在数轴上时,如果它们的坐标分别是x1 和x2,那么,不论这两点的相对位置如何,都有,AB = x2-x1,如在图9-1中
2、,A点坐标为-2,B点坐标为3,则 AB = 3-(-2) =5 ,即 A、B两点间的距离为5。,图 9-1,分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2,垂足分别是 M1(x1,0)、N1(0,y1)、M2(x2,0)、N2(0,y2),并设直线P1N1和P2M2交 于点Q。 则在RtP1QP2中,P1P2 2= P1Q 2+ QP2 2,因为 P1Q = M1M2 = x2-x1,QP2 = N1N2 = y2-y1,设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是平面内任意两点,如图9-2所示,从P1、P2,所以 P1P2 2= x2-x1 2+ y2-y1 2,由此得到两点P
3、1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式,P1P2 =,图 9-2,坐标。,解 设点P的坐标为(x,0),根据 AP =5,得,=5,即 =5,两边平方,得(x-1)2+9=25,x1=5, x2 =-3,例1 已知点P在x轴上,它与点A(1,-3)的距离等于5,求点P的,经检验,这两个值都是原方程的根。因此点P的坐标为(5,0)或 (-3,0),如图9-3所示。,图 9-3,直角三角形。,证明 由两点间距离公式,得,AB 2=(3-0)2+(1-0)2=10,BC 2=(1-3)2+(7-1)2=40,AC 2=(1-0)2+(7-0)2=50,于是 AB 2+ BC 2= AC 2
4、,例2 求证:以A(0,0)、B(3,1)、C(1,7)为顶点的三角形是,所以,ABC是直角三角形,其中B是直角,如图9-4所示。,图 9-4,2. 线段的中点坐标公式,如图9-5所示,设线段P1P2的两个端点分别是P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 点P(x,y) 为线段的中点,从P1、P和P2分别作y轴的平行线,交x 轴于点M1、M和M2。由平面图形的性质有,M1M = MM2,x-x1 = x2-x,由图9-5可知,x-x10,x2-x0,所以 x-x1=x2-x,从而 x=,图 9-5,由此得到点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)之间所连线段的中点P的坐标 为,x= , y=
5、,上式称为线段P1P2的中点坐标公式。,解 设端点B的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,-5= ,1=,所以x=-9, y=5,即端点B的坐标为(-9,5)。,例3 已知线段AB的中点坐标是(-5,1),端点A的坐标是(-1,-3), 求端点B的坐标。,二、直线的倾斜角和斜率,1. 一次函数的图像和直线方程,初中研究一次函数时,在平面直角坐标系中,画出的一次函数 图像是一条直线。例如函数y=2x+1的图像是直线l(如图9-7) 。,图 9-7,一般地,一次函数y=kx+b的图像是一条直线,函数和直线之间 具有下列关系:,1) 以满足函数y=kx+b的每一组x、y的值为坐标的点都在直 线上;
6、,2) 直线上的任何点,它的坐标值x、y都满足函数关系式y=kx+ b。,由于函数y=kx+b也可以看成是一个关于x、y的二元一次方 程,即kx-y+b=0,因此这个方程和直线也具有下列关系:,1) 以方程kx-y+b=0的每一组解x、y为坐标的点都在直线上;,2) 直线上任何点的坐标值都是方程kx-y+b=0的解。,把方程kx-y+b=0称为直线的方程,直线称为这个方程的直线 。,例5 已知直线l的方程为2x-3y+6=0:,(1)判断点P1 和P2(2,-1)是否在直线l上;,(2)求直线l与x轴交点的坐标;,(3)若点A(3,m)在直线l上,求m的值。,解 (1) 把点P1 的坐标代入方
7、程2x-3y+6=0,得,左边=2 -31+6=0=右边,所以点P1 在直线上。,把点P2(2,-1)的坐标代入方程2x-3y+6=0,因为,左边=22-3(-1)+6=130,即方程两边不相等,所以P2(2,-1)不在直线l上。,(2) 把直线与x轴交点的纵坐标y=0代入方程2x-3y+6=0,得,2x+6=0,x=-3,即直线与x轴的交点坐标为(-3,0)。,(3) 把点A(3,m)代入方程2x-3y+6=0,得,23-3m+6=0,所以m=4,2.直线的倾斜角和斜率,(1) 直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴正方向所成 的最小正角称为直线l的倾斜角。这个角就是x轴绕直线与x 轴的交
8、点按逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所形成 的角。图9-8中的角1是l1的倾斜角,角2是l2的倾斜角,图 9-8,当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 ,因此平面内,任意一条直线都能确定唯一的倾斜角,的取值范围是:0 180 (0 )。,(2) 直线的斜率 倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切 值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示,即,k=tan,根据直线倾斜角的取值范围,直线的斜率有下面四种情形:,1) 当=0时(直线平行或重合于x轴),k=tan=0;,2) 当为锐角时,k=tan0;,3) 当为钝角时,k=tan0;,4) 当=90时(直线垂直于x轴),因为tan90不
9、存在,所以斜率k 不存在。,解 根据直线的倾斜角的概念,可得倾斜角为,=180-45=135,斜率为 k=tan135=-1,倾斜角不同的直线,其斜率也不同,常用斜率来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度。,例6 如图9-9所示,求直线l的倾斜角和斜率。,图 9-9,如图9-10所示,设直线l上两点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2, y2),直线的倾斜角90(即x1x2),从P1、P2两点分别作x轴的 垂线P1M1、P2M2,M1、M2是垂足,再作P1QP2M2,交直线P2M2 于点Q。,当直线P1P2的倾斜角为锐角时,有,k=tan=tanP2P1Q= =,可以证明,当为
10、钝角时,以上结论也成立。,所以,经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式为,k= (x1x2),当x1=x2时,直线垂直于x轴,这时斜率不存在。,求得斜率k后,即可根据0180求出直线的倾斜角。,图 9-10,例7 求经过A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角。,解k= =-1,即 tan= -1,因为0180,所以=135,因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是135。,例8 如图9-11所示,直线l1的倾斜角1=30,直线l2l1,求l1和l2 的斜率。,解 l1的斜率k1=tan30=,因为l2的倾斜角 2=1+90=30+90=120,所以l2的斜率
11、k2=tan120=-,图 9-11,第二节 直 线 方 程,在平面内,要确定一条直线,必须具备两个独立的 条件,从前面的学习知道,若给定了直线的斜率,就是给定了它的方向,但还不能确定直线的位置,还需再给一个条件。下面将讨论如何利用斜率和其他条件建立直线的方程。,一、直线的点斜式方程,已知直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,求直线l的方程 (如图9-12)。,设点P(x,y)是直线l上不同于点P0(x0,y0)的任意一点,根据直线 的斜率公式,得,=k,即 y-y0=k(x-x0),可以证明,直线l上的每个点的坐标都是上面方程的解;反之以 该方程的解为坐标的点都在直线上。因此,该方程就
12、是所求 的直线方程。,图 9-12,这个方程是由直线上一点和斜率确定的,通常叫做直线的点 斜式方程。,代入直线的点斜式方程,得,y -(-1)=- (x- ),即 x+y-2=0,例1 求经过点P( ,-1),倾斜角为 的直线方程。,解 这条直线的斜率,k=tan =-,当直线l的倾斜角为90时,直线没有斜率,这时,直线l与y轴平 行或重合,它的方程不能用点斜式表示,但因为l上每一点的横 坐标都等于x0(如图9-14),所以它的方程是,x=x0,图 9-13,图 9-14,若已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P(0,b),代入直线的点 斜式方程,得直线l的方程,y-b=k(x-0),即 y=
13、kx+b,二、直线的两点式方程,已知直线l经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2), 求直线l的方 程。,因为直线l经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),并且x1x2,所以将它的 斜率k= 代入点斜式方程,得,y-y1= (x-x1),当y2y1时,方程可以写成,=,这个方程是由直线l上两点确定的,所以叫直线的两点式方程 。,例2 已知直线l与x轴的交点为(a,0),与y轴的交点为(0,b),其 中a0,b0,求直线l的方程。,解 因为直线l经过A(a,0)和B(0,b)两点,代入两点式方程,得,=,即 + =1,如果直线与x轴相交于点(a,0),则称a为直线在x
14、轴上的截距,以 上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的,所以叫做 直线的截距式方程。,例3 三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(如图9-15),这个三角形三边所在的直线方程?,图 9-15,解 直线AB过A(-5,0)、B(3,-3)两点,由两点式得,=,即3x+8y+15=0,这就是直线AB的方程。,直线BC过点B(3,-3)、C(0,2),斜率为,k= =-,代入斜截式方程,得y=- x+2,即 5x+3y-6=0,这就是直线BC的方程。,直线AC过A(-5,0)、C(0,2)两点,由截距式方程,得,+ =1,即2x-5y+10=0,三、直线方程的一般形式,前
15、面学习的是直线方程的几种特殊形式,它们都是关于x、y 的一次方程,下面研究一般的二元一次方程和直线的关系。,在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,当90时, 它们都有斜率,方程可写成下面形式:,y=kx+b,当=90时,直线的方程可以写成x=x0的形式,由于是在坐标平 面内讨论问题,所以这个方程仍应认为是关于x、y的二元一 次方程,其中y的系数是0,因此在平面直角坐标系中,任何一条 直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。,下面证明,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。,关于x、y的二元一次方程的一般形式是,Ax+By+C=0,其中A、B不同时为0。,1) 当B0时,方程Ax+By
16、+C=0可化为,y=- x-,这就是直线的斜截式方程,它表示斜率为- , 在y轴上截距为- 的直线。,x=-,它表示一条与y轴平行或重合的直线。,2) 当B=0时,由于A、B不同时为0,必有A0,方程Ax+By+C= 0可以化为,根据以上讨论,又得到下面的结论:,在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示 一条直线。 把方程,Ax+By+C=0,(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式。,例4 已知直线l经过点A(6,-4),斜率为- ,求直线l的点斜式 、截距式和一般式方程。,解 经过点A(6,-4),并且斜率等于- 的直线的点斜式方程是,y+4=- (x-6),化成截距式方程是 + =1,化成一般式方程是4x+3y-12=0,例5 把直线l的方程x-2y+6=0化为斜截式方程,求出直线l的 斜率和它在x轴
