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1、,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲线积分,第十一章,复习、对弧长的曲线积分的概念与性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,和对,如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束,性质,（k 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. L为球面,面的交线 , 求其形心 .,在第一卦限与三个坐标,解: 如图所示
3、, 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1) “大化小”.,2) “常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) “近似和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的
4、最大长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 为空间曲线弧 , 记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 性质,(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2)
5、用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,证明: 下面先证,存在, 且有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为L 为光滑弧 ,同理可证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,定理 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数,
6、则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,
7、试求力场对质点所作的功.,其中为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L
8、 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 两类曲线积分的联系, 对空间有向光滑弧 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原点 O 的距离成正比,思考与练习,1. 设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.,沿直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设曲线C为曲面,与曲面,从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;,(2) 计算曲线积分,解: (1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 原式 =,令,利用“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二者夹角为 ,例. 设,曲线段 L 的长度为s, 证明,续,证:,设,说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
